De humanistiske matematikfilosofier

De humanistiske matematikfilosofier er kendetegnet ved, at de fokuserer på matematikken som en menneskelig aktivitet med menneskekeskabte objekter.

Den store foregangsmand erImre Lakatos (1922-1974).  I  Proofs and Refutations, indførte han kvasiempirismen  inspireret af Karl Poppers videnskabsteori for de empiriske videnskaber. Bogen er et glødende opgør med formalismen, som ifølge Lakatos på side 1:

..tends to identify mathematics with its formal axiomatic abstraction (and the philosophy of mathematics with metamathematics)..disconnects the history of mathematics from the philosophy of mathematics..

På side 5 formulerer han sin programerklæring:

Its modest aim is to elaborate the point that informal, quasi-empirical, mathematics does not grow  through a monotonous increase of the number of indubitably established theorems but through the incessant improvement of guesses by speculation and criticism, by the logic of proofs and refutations.

Og om sin fremstillingsform skriver han:

.. rational reconstructed or ‘destilled’ history. The real history will chime in the footnotes, most of which are to be taken, therefore, as an organic part of the essay. 

Rekonstruktionen af  den historiske udvikling af Eulers polyedersætning side 22-50 i Proofs and Refutations, er blevet rost til skyerne af Lakatos' beundrere.  Den er desværre problematisk. Lakatos har komprimeret et forløb, der i virkeligheden varede over 100 år, og han bytter om på rækkefølgen af begivenhederne. Hans tolkning er anakronistisk: Han tolker begivenhederne uafhængigt af deres historiske kontekst. Da de hører hjemme i forskellige epoker med direkte modstridende metodik, er hans fremgangsmåde uacceptabel (læs mere i baggrundsartiklen De humanistiske matematikfilosofier).   

Trods disse indvendinger skal det fremhæves, at Lakatos startede et hårdt tiltrængt opgør (med hans egne ord A challenge is now overdue) med det, han kalder de dogmatiske matematikfilosofier – de tre store grundlagsfilosofier og platonismen. 

Lakatos flytter fokus fra matematikken, som den præsenteres i lærebøger og videnskabelige artikler, til matematikken, som den udøves. Altså fra slutproduktet til processen. Så langt, så godt. Men Lakatos går et skridt videre: Matematik er en menneskelig aktivitet. Det er vigtigt at gøre sig klart, at matematik er mange ting. Efter sigende var Gauss den sidste allround matematiker, der havde overblik over alle matematikkens discipliner, så selv set fra en snæver faglig synsvinkel er matematik mange fagområder. Med forskellige traditioner, forskningsmiljøer, didaktiske traditioner, fagpolitiske holdninger. Men den side af sagen er jo trivielt et menneskeligt anliggende. Det interessante spørgsmål er, i hvilket omfang de sociale aspekter afspejles i faget selv.  

Vi springer nu frem til Paul Ernest (1950-), som har indført socialkonstruktivismen i matematikfilosofien. Han formulerer sin trosbekendelse i det korte, læsevenlige og læseværdige kampskrift  Social constructivism as a Philosophy of Mathematics: Radical Constructivism rehabilitated?

  1. knowledge is not passively received but actively built up by the cognizing subject;
  2. the function of cognition is adaptive and serves the organization of the experiential world, not the discovery of ontological reality.

With the added assumptions of the existence of social and physical reality I can extend these principles to elaborate the epistemological basis of social constructivism.  

  1. the personal theories which result from the organization of the experiential world must 'fit' the constraints imposed by physical and social reality;
  2. they achieve this by a cycle of theory-prediction-test-failure-accommodation-new theory;
  3. this gives rise to socially agreed theories of the world and social patterns and rules of language use;
  4. mathematics is the theory of form and structure that arises within language.

Paul Ernst redigerer det spændende onlinetidsskrift  Philosophy of Mathematics Education Journal . Fokus er, som navnet antyder, på didaktikken.

De humanistiske matematikfilosofier tager konsekvensen af den historiske udvikling inden for faget. Men kan de besvare de store matematikfilosofiske spørgsmål? Hvis matematik er et sprog/en social konstruktion, hvad adskiller så matematik fra andre sprog/sociale konstruktioner? Hvorfor er matematik så (tilsyneladende) universel? Hvorfor er matematik "videnskabens sprog"?