Den deduktive metode
Den deduktive (aksiomatiske) metode blev beskrevet af Aristoteles i det 4. århundrede før vor tidsregning. Med udgangspunkt i nogle grundlæggende definitioner og nogle ubeviste påstande om disse (aksiomerne) og logikkens slutningsregler udledes alle teoretiske sætninger.
Med Euklids geometri som mønstereksempel gik metoden sin sejrsgang. I princippet byggede al videnskab på den deduktive metode. I praksis tog matematikerne mere afslappet på det. De vidste jo, at matematikken byggede på et sundt grundlag, og så er det morsommere at opdage nye spændende sætninger end at bruge tiden på at gå bevisførelsen efter ned til allermindste detalje.
Men i løbet af 1800-tallet løb matematikken ind i problemer. Euklids geometri fik konkurrence af ikke euklidiske geometrier, de reelle tal fik konkurrence af komplekse tal og kvaternioner, og samtidig fik de gode gamle regneoperationer konkurrence fra algebraens kompositioner. Geometrien og tallene forvandledes fra at være de eneste tænkelige ( a priori givne) til at være et alternativ blandt flere. Analysen kunne fremvise ejendommeligheder som Peanos kurve, Cantors mængdelære er spækket med ejendommeligheder, og Russell havde et mere end ejendommeligt forhold til sin barber.
Den deduktive metode fik en renæssance i form af en udbredt aksiomatisering af matematikkens forskellige fagområder, og matematikkens grundlag blev genstand for grundige undersøgelser metode.
Euklids deduktive metode kan betegnes som naiv i den forstand, at hans diskurs omhandlede virkelige objekter, som han opnåede viden om gennem diskursen. Hans aksiomsystem var deskriptivt – det beskrev virkeligheden, som vi går ud fra er modsigelsesfri – så konsistensen af aksiomsystemet var garanteret på forhånd. Den matematiske udvikling gennem 2000 år havde imidlertid vist, at man skal være varsom med, hvad man tager for givet, og stillet spørgsmålstegn ved virkeligheden af objekterne (flere matematiske modeller, der beskriver virkeligheden lige godt, gør det umuligt at vælge en naturlig model). Der rejser sig en række nye spørgsmål, når aksiomsystemerne erkendes at være præskriptive. Et af dem er, om aksiomsystemerne for de reelle tal og den plane geometri overhovedet er konsistente, for ellers kan vi konkludere hvad som helst, og så kan det også være lige meget.
Kravet om konsistens kan forekomme beskedent, men det skulle vise sig at være en bombe under matematikken med vidtrækkende konsekvenser for fagets filosofi.
Hilbert er ophavsmanden til studiet af aksiomsystemerne, metamatematikken. Hilbert havde en redningsplan, som skulle bringe matematikken tilbage på sikker grund. Kuppet over alle kup. Han skulle bruge:
Planen startede med Grundlagen der Geometrie fra 1899, hvori han præsenterede et aksiomsystem for den plane geometri. Hilberts aksiomsystem var konsistent, hvis bare det kunne vises, at aksiomsystemet for de reelle tal var det. Det startede faktisk rigtigt godt for Hilbert.
Godt nok måtte han betale en høj pris for at etablere det sikre grundlag. Hilberts indfaldsvinkel på den deduktive metode betegnes normalt som formel. Han udtaler sig om egenskaber ved aksiomsystemet, men han gør sig ikke nogen illusion om, at de primitive termer har et indhold udover det, de får i kraft af aksiomerne, og hans sandhedsbegreb er lidt fladt: Da objekterne er blottet for mening, skal vi ikke tolke resultaterne i sandhedstermer, en sætning er sand, hvis den kan udledes af aksiomerne. Matematikken er blevet indholds- og meningsløs.
Men Hilbert anså ikke selv matematikken som indholds- og meningsløs. Måske forsøgte han bare at udsætte en vanskelig ontologisk diskussion og den deraf følgende sandhed/bevis diskussion. Manden var jo ikke dum, så han vidste nok, hvad han gjorde: Det var smart at fokusere på metoden i første omgang, og så lade de andre spørgsmål ligge til senere.
Det gik som nævnt rigtigt godt for Hilberts projekt. Men så i 1931..
Læs den spændende fortsættelse i Gödels ufuldstændighedssætninger.