Fra Euklid til Hilbert

Der findes ingen kongevej til geometrien, Euklid ca. 300 f.v.t.

Euklid omkring 300 f.v.t. Han huskes især for sine Elementer . Dette hovedværk og mønstereksempel på anvendelse af den deduktive metode, som udvikledes i det antikke Grækenland i perioden 600-300, har inspireret generationer af videnskabsmænd.

Elementerne består af 13 bøger. Den plane geometri behandles i Bog 1, som indledes med grundprincipperne i form af 23 definitioner, 5 postulater og 5 aksiomer. Euklid følger den aristoteliske model for den deduktive metode. Bemærk, at Aristoteles og Euklid skelner mellem aksiomer (af generel karakter) og postulater (som er emnespecifikke), hvor vi i dag bruger fællesbetegnelsen aksiomer.

Det femte af Euklids postulater, parallelaksiomet, adskiller sig fra de andre. Det ligner mere en sætning end et aksiom. Det er bemærkelsesværdigt, at Euklid beviser de første 28 sætninger uden brug af parallelaksiomet Det kunne se ud som om, at det femte postulat er kommet til efter de andre; at Euklid har tilføjet det, fordi han ikke kunne komme videre uden.

Det blev derfor en udfordring for matematikere i mere end 2.000 år at bevise parallelaksiomet ud fra de øvrige aksiomer og Euklids første 28 sætninger. Og det er lykkedes dem – udi egen overbevisning!

Denne særlige disciplin – at bevise parallelaksiomet – har været en lang opvisning i besnærende fejltagelser. Aktørerne har enten gjort antagelser, som de har anset for indlysende, men som siden har vist sig at være ækvivalente med parallelaksiomet. Eller de har stiltiende gjort antagelser, der ikke var belæg for i aksiomerne.

Vort ærinde er ikke at forklejne Euklid og alle dem, der dummede sig ved at bevise parallelaksiomet, men at påvise, at det billede, som mange – også matematikere – har af matematikken som eviggyldig og hævet over mennesket, er i strid med den historiske udvikling af faget. I et par tusind år var Euklids Elementer det fuldkomne eksempel på den deduktive metode, hvor man udleder sine resultater ved hjælp af logikkens generelle slutningsregler og teoridannelsens aksiomsystem – og kun det ! I dag opfatter vi Euklids aksiomsystem som mangelfuldt !

Hvorfor skulle der totusind års forgæves forsøg på at bevise parallelaksiomet til, før der var nogen, der problematiserede det. Det er svært at forstå set i bagklogskabens ulideligt klare lys, men Euklids geometri ikke var til debat. Den var så indlysende sand, at Descartes brugte den til at bevise Guds eksistens.. Og Kant baserede sin syntetisk a priori teori på Euklid.

På den baggrund forstår man bedre ungareren Janos Bolyai, som efter at have opdaget en ikke-euklidisk geometri i 1823 skrev: "Ud af intet har jeg skabt en mærkelig ny verden". Det kan diskuteres, om Johan Bolyai havde skabt en ny verden, for hans arbejde indeholdt ingen model for geometrien. Men han havde det mod, der skulle til for at bryde med vanetænkningen.

Den store tyske matematiker Gauss, som havde været optaget af de samme ideer som Janos Bolyai i 39 år, havde ikke skrevet meget ned, men havde tænkt sig at nedfælde tankerne til udgivelse efter sin død. Hvorfor vente ? Meget tyder på, at Gauss ønskede at undgå et opgør med den fremherskende Kantisme. 

Uafhængigt af Janos Bolyai havde russeren Nicolai Ivanovitch Lobachevski  i 1826 holdt en forelæsning på universitetet i Kazan, hvor han skitserede en geometri, hvor der gennem et givent punkt var flere linjer parallelle med en given linje. Lobachevski angav heller ikke nogen model for sin geometri.

Der gik omkring 30 år, før ideerne blev udbredt til en større kreds. Hvorfor så lang tid ? Sprogbarrieren er en oplagt forklaring. Bolyai og Lobachevski var to ukendte navne i Vesteuropa, så det tog tid før deres arbejde blev kendt. En anden forklaring er de manglende modeller. Lidt i samme boldgade mangler både Bolyai og Lobachevski et bevis for konsistensen af deres geometrier. En forståelig model for geometrien havde været et forbandet godt argument over for den Kant-inspirerede samtid. Italieneren Eugenio Beltrami konstruerede den første model i 1868. Siden er der fremkommet mange andre modeller. Vi vil fremhæve en særlig smuk og enkel model fra 1887 af franskmanden Henri Poincaré.

Hvad betød opdagelsen af de ikke-euklidiske geometrier for matematikkens filosofi ? Den betød først og fremmest, at Kant tog fejl. Der findes ikke nogen naturlig geometri a priori. Set fra et matematisk synspunkt er den euklidiske og den ikke-euklidiske geometri lige gode. Hvis vi skulle give den ene geometri en fortrinsstilling i forhold til den anden, skulle det være, fordi den var bedre til at beskrive den fysiske verden. Det må komme an på en prøve. Problemet er blot, at geometrierne lokalt er ens.  Fra at være a priori given bliver geometrien en menneskelig konstruktion, og geometriens objekter mister deres selvindlysende status. Hvad er så deres natur, og hvorledes erkendes de ? I kølvandet på denne udvikling bliver en kritisk gennemgang af aksiomsystemet nødvendigt, og et nyt spørgsmål dukker op, nemlig spørgsmålet om konsistens. Spørgsmålet var ikke på tale, den gang den euklidiske geometri var given a priori. Kravet om konsistens, som kan forekomme beskedent sammenlignet med sandheden, skulle vise sig at være en bombe under matematikken med vidtrækkende konsekvenser for fagets filosofi.

Efter sammenbruddet af parallelaksiomet med indførelsen af den ikke-euklidiske geometri i midten af det nittende århundrede skærpedes opmærksomheden på geometriens grundlag. Vi springer direkte frem til David Hilbert, som i Grundlagen der Geometrie fra 1899 præsenterede et konsistent aksiomsystem og en model for den plane geometri

Vi forlader Hilbert & Co. på det allermest spændende tidspunkt. I slutningen af 1800-tallet var der konstateret revner flere steder i matematikkens fundament. Skaderne er tilsyneladende udbedret ved aksiomatisering. Vi mangler kun lige at få de sidste brikker på plads i form af en konsistent teori for de reelle tal. Poincarré har et optimistisk indlæg om matematikkens grundlag ved Verdenskongressen år 1900, og Hilbert søsætter sit berømte program for matematikken i det 20. århundrede ved samme lejlighed. Alt ånder tilsyneladende fred og idyl.