Grundlagsfilosofierne

Grundlagsfilosofierne opstod omkring år 1900 i et forsøg på at rydde op i kølvandet af nytolkninger og paradokser efter 1800-tallets voldsomme matematiske ekspansion, se grundlagskrisen. Der var tale om tre hovedretninger: Logicismen, formalismen og intuitionismen. Bestræbelserne på at give matematikken et sikkert grundlag dominerede i den grad inden for matematikfilosofien, at matematikfilosofi og grundlagsforskning stort set var synonymer det meste af det 20. århundrede.

Logicismen ville sikre matematikkens grundlag ved at vise, at al matematik kan udledes ved hjælp af logikken og nogle ganske få mængdeteoretiske aksiomer. Dette bliver gjort i Russels og Whiteheads hovedværk Principia Mathematica. Desværre er aksiomerne ikke så selvindlysende, som man kunne ønske det. Russels paradoks er en del af forklaringen. Og ville andre aksiomer give den samme matematik?

Formalismen ville sikre matematikkens grundlag ved at opfatte matematikken, som udledning af sætninger i aksiomatiske systemer. Formalismen tillægger ikke de primitive termer i diskursen noget indhold. Dette synspunkt illustreres tit med Hilberts provokerende udsagn om, at ordene punkter, linjer og planer i geometrien lige så godt kunne erstattes af  ølkrus, stole og borde.

Formalismen provokerede i hvert fald Frege! I Jahresbericht DMV 12 (1903) gav han Hilbert svar på tiltale: Von altersher nennt man Axiom einen Gedanken, dessen Wahrheit feststeht, ohne jedoch durch eine logische Schlusskette bewiesen zu werden können.. Erklärung. Wir denken uns Gegenstände, die wir Götter nennen. Axiom 1. Jeder Gott ist allmäctich. Axiom 2. Es gibt wenigstens einen Gott.

Citatet illustrerer et grundproblem ved formalismen: Det er jo ikke ligegyldigt, hvad vi beskæftiger os med. Det mente Hilbert heller ikke i praksis, men hans mission var at sikre, at matematikken var uden indbyggede modsigelser. Det tegnede egentlig meget lyst for Hilberts projekt, ind til Gödel definitivt slukkede lyset med sine ufuldstændighedssætninger i 1931.

Intuitionismen Læseren opfordres til selv at søge oplysninger, her kommer nemlig kun en tendentiøs sludder for en sladder. Intuitionismen ville sikre matematikkens grundlag ved at tage udgangspunkt i, at vi alle besidder en matematisk intuition. Denne intuition giver anledning til en række tilladelige metoder. Hvad der ligger derudover, anses for uafgørbart. På plussiden undgår intuitionismen en række paradokser forbundet med uendelighed. På minussiden er der simpelthen for mange vigtige matematiske resultater, som intuitionismen afskærer sig selv fra. Sagt på en anden måde: Intuitionismen er ikke i overensstemmelse med, hvorledes matematikken rent faktisk udøves.

Som det fremgår, lykkedes det ikke rigtigt for nogle af de store grundlagsfilosofier at finde vejen ud af grundlagskrisen. Det har fået matematikfilosoffer til at overveje, om det overhovedet er nødvendigt (eller endda muligt) at etablere et sikkert grundlag.

Tilbage står de grundlæggende fascinerende grundlæggende spørgsmål:

Hvad er matematik egentlig?

Hvad er det egentlig for nogle størrelser, vi beskæftiger os med som matematikere?