Grundlagskrisen

I løbet af 1800-tallet fik Euklids geometri  konkurrence af ikke euklidiske geometrier, de reelle tal fik konkurrence af komplekse tal og kvaternioner, og samtidig fik de gode gamle regneoperationer konkurrence fra algebraens kompositioner. Analysen kunne fremvise ejendommeligheder som Peanos kurve, Cantors mængdelære er spækket med ejendommeligheder, og Russell havde et ejendommeligt forhold til sin barber. Matematikkens grundlag  blev genstand for grundige undersøgelser drevet af ønsket om at skabe et holdbart fundament for matematikken.

Det gamle fundament kan belyses ved Euklid. Hans aksiomatiske metode var naiv i den forstand, at hans diskurs omhandlede virkelige objekter, som han opnåede viden om gennem diskursen. Hans aksiomsystem var deskriptivt  – det beskrev virkeligheden, som vi går ud fra er modsigelsesfri – så konsistensen af aksiomsystemet var garanteret på forhånd. Den matematiske udvikling gennem 2000 år havde imidlertid vist, at man skal være varsom med, hvad man tager for givet (paradokser burde ikke forekomme), og stillet spørgsmålstegn ved virkeligheden af objekterne (flere matematiske modeller, der beskriver virkeligheden lige godt, gør det umuligt at vælge en naturlig model). Der rejser sig en række nye spørgsmål, når aksiomsystemerne erkendes at være præskriptive. Et af dem er, om det overhovedet er konsistent, for ellers kan vi konkludere hvad som helst, og så kan det også være lige meget. Kravet om konsistens kan virke beskedent, men skulle vise sig at være en tikkende bombe..

Erkendelsen af, at tallene og formerne tilsyneladende er menneskelige konstruktioner, udløser en byge af spørgsmål: Hvad er karakteren af disse menneskelige konstruktioner? Hvordan erkendes de, og hvordan er vi i stand til at kommunikere om dem? Hvad vil det overhovedet sige, at en matematisk sætning er sand, når vi selv definerer betydningen af den?