Matematik i oldtiden

Babylonerne skrev kileskrift på lertavler. Der er bevaret over 500.000 babylonske lertavler fordelt på museer rundt omkring i verden. Af disse er omkring 100 gennemregnede opgavesamlinger ordnet efter stigende sværhedsgrad og lidt mere end 200 tabeller.

Ægypterne huggede hieroglyffer i sten og skrev på papyrus, som er bevaret pga. det usædvanligt tørre klima i Ægypten. Papyrus Rhind 1650 f.v.t. og den lidt ældre Moskva papyrus er hovedkilderne til den ægyptiske matematik.

Babylonerne og ægypternes matematik kan med en fællesbetegnelse kaldes for empirisk-operationel. Der er tale om instruktioner i, hvordan opgaver skal løses. Opgaverne er langt fra alle trivielle. Der kan være tale om løsning af andengradsligninger, og den pythagoræiske sætning om siderne i den retvinklede trekant var også delvis kendt. Der er ingen antydning af egentlig bevisførelse, men da resultaterne som regel er rigtige, må disse være blevet verificeret på anden vis, sandsynligvis empirisk. Empiriens svaghed viser sig ved, at nogle af resultaterne måske har fungeret i praksis, men i virkeligheden var forkerte. Frasen sådan er fremgangsmåden i ægyptiske papyrus tyder på, at udregningerne blev opfattet som eksemplificering af en overordnet, uskreven teoridannelse. På samme måde må babylonernes praksis med eksempelsamlinger antages at tegne et omrids af det, der eksemplificeres.

I løbet af perioden 600-300 udvikledes den deduktive metode i det antikke Grækenland. En af hovedpersonerne var Pythagoras, som grundlagde det pythagoræiske broderskab. Flere af pythagoræernes resultater var empirisk kendt af babylonerne, men pythagoræerne udledte dem ved brug af den deduktive metode. De studerede blandt andet talteori, så på parallelle linjer og vinkelsummen i en trekant, konstruerede en sammenhængende geometrisk tolkning af aritmetikken og opdagede irrationaliteten af.

Pythagoras og pythagoræerne dyrkede talmystik og troede på sjælevandring. I den mere kuriøse ende af skalaen skal nævnes et sæt leveregler, der blandt andet forbød dem at spise bønner.

Irrationaliteten af var et chok for pythagoræerne, som havde baseret deres verden på naturlige tal og forhold mellem disse. Her har vi måske nøglen til grækernes udvikling af den deduktive metode: Hvis det, man tog for givet, viser sig at være forkert, bliver man nødt til at gå sine forudsætninger kritisk igennem, før man sætter noget andet i stedet, for at hele korthuset ikke skal vælte en gang til. Mange af de gamle resultater er stadig gyldige, så man må udvikle metoder til at afgøre hvilke.

Blandt andre mulige forklaringer på, at grækerne løftede matematikken fra empiri til logisk deduktion skal nævnes:

- Den æstetiske. Deduktionens orden, konsistens, fuldstændighed og overbevisende slagkraft tiltalte grækernes skønhedssans.

- Den sociologiske. Grækerne havde slaver til det grove, og satte derfor en ære i at skille teorien fra praktikken.

- Den politiske. Med indførelsen af demokratiet blev det vigtigt, at man kunne argumentere sammenhængende for sine synspunkter. Og det er netop det, der er kunsten ved deduktionen.

Der skulle nu være varmet op til de to hovednavne: Platon (427-347) og Aristoteles (384-322). Platon var elev af Sokrates. Han blev solgt som slave til Sparta, men havde heldigvis venner, som var i stand til at købe ham fri. Og der blev endda penge tilovers. Dem brugte Platon til at grundlægge sit berømte Akademi i Athen.

Inspireret af pythagoræerne mente Platon, at ideerne var evige og uforanderlige. Da alt, vi kan erkende gennem vore sanser, er foranderligt, er ideerne hævet over disse. Ordet hest dækker over en ide uden for tid og rum. Det er denne ide, der er virkelig. De heste, vi støder på, i den verden, vi kan sanse, er kun ufuldkomne fænomener. Eksemplet med hesten skyldes Platon selv. Det overlades til læseren som en let lille øvelse at substituere hesten med forskellige matematiske objekter, så som en ret linje, en cirkel, en trekant, tallet 7.. Platons ideer kan ikke sanses. Der melder sig et påtrængende problem: Hvordan skal man så erkende dem ? Svaret er, at sanserne kan hjælpe sjælen til at erindre ideen. Vel at mærke en erindring, som går tilbage til en tidligere tilværelse, hvor den udødelige sjæl (jf. Pythagoræernes tro på sjælevandring) har erkendt ideerne. Der lærte sjælen matematikkens grundsætninger. Erindringen kan hjælpes på vej ved en dialog, der præciserer og tydeliggør begreberne (anamnese)

Aristoteles var lidt af en evighedsstudent. Han var elev ved Akademiet under Platon i 20 år. Han afviste Platons idelære på det hånligste. Han erstattede Platons ideer med former, som var tingene iboende. Disse former var lige som Platons ideer evige og uforanderlige. (Da den fysiske verden er foranderlig, er Aristoteles nødt til at indføre en dynamik, der kan forklare, hvordan formerne underkastes substantielle ændringer). Der, hvor vandene for alvor skiller, er erkendelsesteorien. Hos Platon var sanserne bedrageriske. Hos Aristoteles er de en hjælp til at erkende tingenes sande form. Erkendelse hos Aristoteles er sansebaseret empirisk generalisation. 

Aristoteles delte ikke Platons begejstring for matematikken. Men hans logik er en kraftpræstation inden for et emne, som vi i dag opfatter som en vigtig del af matematikkens grundlag. Pudsigt nok var det ikke den aristoteliske logik og den heri indeholdte deduktive metode, der inspirerede Gallilei, Kepler, Descartes, Newton, Huygens, Newton m.fl., men den konkrete eksemplificering i form af den euklidiske geometri.

Hvor om alting er: Den deduktive metode har gået sin sejrsgang. Det er metoden, som alle matematikere benytter sig af, i hvert fald når resultaterne skal præsenteres. (Det har forledt svage sjæle til at tro, at matematikken i sit væsen er deduktiv. Enhver, der selv har beskæftiget sig med at lave matematik, ved, at det ikke er tilfældet).