Kvasiempirisme, naturalisme, fallibilisme og socialkonstruktivisme

Stikord fra [4]: Didactique des mathématiques, situation (mathématique), théorie des situations didactique en mathématiques, actant, milieu, situation fondamentale (correspondant à un savoir) situation (a-didactique) d’action (relative une connaissance), modèle implicite, situation (a-didactique) de formulation (d’une connaissance), situation (a-didactique) de validation (sociale et culturelle),obstacles, situation d’institutionnalisation d’une connaissance, constructivisme radical,dévolution, connaissances et savoirs, contrat didactique, effet Topaze, effet Jourdain, glissements métacognitif et metadidactique, l'usage abusif de l'analogie, effet «Diénès », paradoxe du comédien, paradoxe de la dévolution des situations.

Jeg vil desuden forsøge at placere den franske skole i forhold til det fælles læste stof, f.eks. ved at sammenligne Brousseaus ideer om didactical engineering med Freudenthalskolens educational design.

Indledning

I efteråret 2002 havde DPU besøg af den franske didaktikforsker Raymond Duval. Besøget markeredes blandt andet med et forskningsseminar i matematikkens didaktik, som jeg havde fornøjelsen at deltage i. Det var mit første møde med den franske skole, hvis eksistens jeg indtil da havde været uvidende om, inden for matematikkens didaktik. Som brændende frankofil var min nysgerrighed vakt, men hvad der skulle være specielt ved den franske skole, havde jeg ingen anelse om.

Vivianne Durand-Guerriers gæsteforelæsning om didaktiske situationer tilføjede et indholdsmæssigt aspekt: Flere af de effekter, teorien beskæftiger sig med, kunne jeg umiddelbart nikke genkendende til, og de indgående analyseelementer forekom mig relevante.

Jeg havde forestillet mig, at jeg skulle benytte kapitel 1 [8] som udgangspunkt for mine studier, men efter min opfattelse er teksten uegnet som introduktion. Det er trods alt den opsummerende del af Guy Brousseaus doktordisputats, som dækker mere end 20 års forskning, og hvis målgruppe må formodes ikke at være de rene nybegyndere. Jeg kan fuldstændig tilslutte mig Virginia Warfield, se nedenfor, som på sin hjemmeside skriver:

It has been pointed out to me that the only "introductory" publication in English about Didactique is a whole book (Brousseau, Theory of Didactical Situations in Mathematics, Kluwer Academic Publishers, 1997), which makes slightly heavy going for a neophyte.

Virginia Warfield stiller en monografi om teorien for didaktiske situationer i udsigt og beder i den sammenhæng om kommentarer til sin oversættelse Education and Didactique of Mathematics [5] af oversigtsartiklen Education et Didactique des mathématiques [6]. Desværre blev jeg først opmærksom på den engelske oversættelse af denne spændende oversigtsartikel på et sent tidspunkt i opgaveskrivningen.

Jeg har heldigvis fundet en anden indfaldsvinkel. Nemlig Guy Brousseaus gennemgang af de grundlæggende begreber i [4] og Marie-Jeanne Perrin-Glorians historiske gennemgang af teoriens udvikling side 97-147 i [1]. Den historiske gennemgang er interessant og værdifuld, fordi den gennemgår udviklingen af de centrale begreber i teorien om didaktiske situationer. Denne udviklingshistorie giver begreberne et indhold og en tyngde, som man kun aner i [5].

Om opgaven

Jeg har valgt at bygge opgavebesvarelsen op omkring min egen kommenterede oversættelse af Guy Brousseaus oversigt over de centrale begreber i teorien om didaktiske situationer,

Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques [4]

Jeg har med blødende hjerte stort set måttet skære Marie-Jeanne Perrin-Glorians artikel, som har været min personlige nøgle til at få åbnet for en ellers lukket verden, ud af opgavebesvarelsen for at få plads til [5]. Jeg har ikke kunnet se anden udvej, da jeg finder, at [4] og [5] supplerer hinanden fremragende, idet [5] giver overblik og [4] dybde.

Jeg har været i tvivl om det betimelige i dispositionen, da det her jo ikke er en oversættelsesopgave. Men oversættelsesarbejdet har ikke så meget bestået i at oversætte franske ord og vendinger til tilsvarende danske, som at vælge den oversættelse blandt talrige sproglige muligheder, der indholdsmæssigt gav mening. Den franske skole inden for matematikkens didaktik har udviklet sig delvis isoleret fra omverdenen pga. sprogbarrieren. Den har derfor udviklet et særligt sprog, et netværk af begreber, se nedenfor. Dette sprog/begrebsapparat er (med kærlig hilsen til gode gamle Vygotsky) med til at forme vore forestillinger om matematikkens didaktik.

Jeg bestyrkes i min disposition ved at læse indledningen til den engelske udgave af Le Cas de Gaël, The case of Gaël fra 1999 [9]:

This article is one of a matched pair in French and English resulting from a three-way collaboration between Guy Brousseau, Nadine Brousseau and Virginia Warfield. It was launched by the desire of the latter to make available to the English-speaking community an article written by Guy Brousseau in 1981. The resulting discussions produced so many modifications and clarifications that the three undertook to make the improved version available also in French. The process provided splendid evidence that differences in linguistic and cultural perspective can be a source of considerable intellectual enrichment.

Under udarbejdelsen af opgaven, har det vist sig mere naturligt at placere den franske skole i forhold til radikalkonstruktivismen end at sammenligne den med Freudenthalskolen som oprindeligt stillet i udsigt i opgaveformuleringen.

Jeg håber, at jeg med denne opgave kan yde mit beskedne bidrag til udbredelsen af kendskabet til den franske skole inden for matematikkens didaktik i Danmark.

Tyve års matematik didaktik i Frankrig

I 1993 markerede foreningen af franske forskere i matematikkens didaktik, Association des chercheurs en Didactique des mathématiques sin grundlæggelse med afholdelsen af et kollokvium under overskriften Vingt ans de didactique des mathématiques en France, hvor foreningens medlemmer gjorde status og så tilbage på de forgangne tyve års forskning I matematikkens didaktik. Kollokviet er dokumenteret i [1]. Jeg vil koncentrere mig om to bidrag, nemlig Marie-Jeanne Perrin-Glorian: Théorie des situations didactiques: naissance, développement, prespectives , som jeg i første omgang vil benytte vil at placere Guy Brousseau i forhold til den franske skole i al almindelighed, og Jeremy Kilpatrick: Vingt ans de didatictigue française depuis les USA, som jeg vil benytte til at placere den franske skole i forhold til den nordamerikanske tradition (Canada ikke medregnet).

Teorien om didaktiske situationer: Fødsel, udvikling, perspektiver [1] side 97-147.

Da jeg valgte min opgaveformulering, vidste jeg godt, at Guy Brosseau ikke var hvem som helst, men en foregangsmand inden for fransk matematikdidaktisk forskning. Jeg vidste for eksempel, at det omtalte kollokvium var tilegnet Guy Brousseau og Gérard Vergnaud. Men i hvor høj grad, han havde præget udviklingen kom alligevel bag på mig. Marie-Jeanne Perrin-Glorian skriver i sin introduktion side 97:

For at behandle det emne, som man har bedt mig om at fremlægge, fuldstændigt, skulle jeg have læst eller genlæst alle de matematikdidaktiske arbejder, der er foretaget i Frankrig de sidste 20 år eller mere, for størstedelen af forskningen har benyttet teorien om didaktiske situationer, har placeret sig i forhold til den, har stillet spørgsmålstegn ved den, læs: bidraget til dens udvikling.

Pour traiter complètement le sujet qu’on m’a demandé d’exposer, il m’aurait fallu lire

ou relire tous les traveaux de didactique des mathématiques qui ont été faits en France depuis 20 ans ou plus, parce la pluspart des recherches ont utilisé la théorie des situations didactiques, se sont positionnées par rapport à elle, lui ont posé des questions, voire ont contribué à son évolution.

Og i sin afrunding side 141 skriver hun blandt andet :

Min fremstilling har iscenesat en hovedrolle, det er en konsekvens af min arbejdsmetode. Men teorien om situationer er først og fremmest et netværk af begreber såvel som forsningsmetoder og eksperimentelle protokoller, som især understøtter didaktisk planlægning, som mange forskere i og uden for Frankrig benytter og udvikler.

Ma présentation a mis en scène un acteur principal, c’est une conseqencede la manière que j’ai travaillé. Mais la théorie des situations c’est avant tout un réseau de concepts ainsi que des méthodes de recherche et des protocoles d’expérimentation, appuyés notamment sur l’ingenerie didactique, qu’utilisent et que développent beacoup de chercheurs en France et au-delà.

Ovenstående citat er stærkt medvirkende til min disposition af opgaven. Jeg har selv haft nærmest uoverstigelige problemer med at få det grundlæggende ordforråd (læs: begrebsapparat) på plads, hvorimod anvendelserne har været mere lettilgængelige. Det ville derfor have været taktisk smart at centrere opgaven om anvendelserne og blæse på de finere (for de konkrete anvendelser ligegyldige) nuancer i terminologien. Men hvis det nu er det sprog, den franske skole inden for matematikkens skole benytter sig af som fælles referenceramme, er det vigtig for mit ærinde – at forsøge at få hul igennem – at jeg kan tale sproget.

Netværket af begreber, som Marie-Jeanne Perrin-Glorian omtaler, kunne være valgt på forskellig måde. Jeg anser det for enestående, at en enkelt person i den grad har været i stand til at præge sproget inden for et bestemt fagområde. Som det fremgår af hendes artikel, er begrebsapparatet ikke statisk, men derimod udviklet i samspil med det didaktiske forskningsmiljø i Frankrig over en periode på mere end 20 år.

Marie-Jeanne Perrin-Glorians historiske vinkel kan give en ide om, hvilke ”spørgsmål” de valgte begreber er svaret på, altså hvilke problemstillinger, de er beregnet på at analysere, og dermed være med til at besvare spørgsmålet om relevans af de indførte begreber – hvorfor det blev netop dem, og ikke andre. Denne dimension går tabt, når man kun præsenteres for slutproduktet, som i [8].

Så meget for sproget i denne omgang. Men selve grundideen bag den franske skole er bemærkelsesværdig. Marie-Jeanne Perrin-Glorian skriver på side 98 under midten:

Projektet, som G.B gav næring til fra starten af 60’erne kan forekomme os en smule vanvittigt i dag, så ambitiøst var det: Det drejer sig om at bestemme den bedste matematikundervisning for alle børnene i grundskolen på videnskabelig vis.

Le projet que nourrit G.B. au tout début des années 60 peut nous paraître un peu fou maintenant tant il est ambitieux: il s’agit de déterminer de façon scientifique quel peut être le meilleur enseignemt des mathématiques pour tous les enfants de l’école élémentaire.

Ved første øjekast kunne man fristes til at mene, at det er det overordnede mål for al didaktisk forskning. Men der er mere i det end som så. For det første er bare det at iagttage undervisningen, som den praktiseres, og give en fornuftig beskrivelse af, hvad der foregår, og analyse af hvorfor, i sig selv en ambitiøs opgave. Der er et stort spring til at give anvisninger på, hvordan den gode – for slet ikke at tale om den bedste – undervisning skal være. Ydermere skal ordet videnskabelig i denne sammenhæng tolkes i retning af den benhårde naturvidenskabelige tradition: Didaktikken bygger matematiske modeller baseret på kvantitative empiriske undersøgelser med krav om reproducerbarhed af resultaterne. Disse modeller indeholder didaktiske variable, og tilrettelæggelsen af den bedste undervisning i virkeligheden, svarer et optimeringsproblem i modellen.

Kravet om reproducerbarhed er næppe foreneligt med de radikalkonstruktivistiske strømninger inden for matematikkens didaktik, jævnfør Jeremy Kilpatrick-citatet neden for. Men inden for den franske skole er det ufravigeligt: Hvor teoretisk den franske skole end kan forekommer, er den meget målrettet. Resultaterne skal bruges til at planlægge den bedst mulige undervisning, og hvis resultaterne ikke er reproducerbare, er de uegnede til dette formål.

Man kunne forledes til at tro, at programerklæringen skyldtes ungdommeligt overmod, men i indledningen til [5] skriver Guy Brousseau:

As the 21st century begins, we are approaching mathematics education using means of a totally different measure from those used in the past. Nonetheless, it is not clear that in these new circumstances our knowledge and our practices insure us today a better regulation and effectiveness than at the beginning of the 20th century.

Målet er fortsat better regulation and effectiveness.

Tyve års franske didaktik set fra USA [1]side 84-96.

Jeremy Kilpatrick giver i sit indlæg en nærmest kærlig beskrivelse af fransk matematikdidaktik set fra USA. Han illustrerer på side 86 øverst sprogbarrieren og de faldgruber, man risikerer at falde i, hvis man prøver at forcere den, med et eksempel: Ved den 7. internationale kongres for matematikundervisning afholdt i Quebec i 1992, havde han vist en transparent for en arbejdsgruppe, som arbejdede med forskningsmetode. På transparenten var han uforvarende kommet til at oversætte ”research in mathematics education” med ”recherche en didactique des mathématiques”. Der havde udspundet sig en længere diskussion, hvoraf det eneste, der bagefter stod ham klart, var, at det franske udtryk dækkede over langt mere end det tilsvarende engelske. Eksemplet understreger min pointe ovenfor, at oversættelse af en videnskabelig tekst ikke kun er en sproglig opgave.

Forskellen i sprogbrug dækker over grundlæggende forskellige indfaldsvinkler. I den franske skole (Guy Brousseaus teori om didaktiske situationer) er det teoretiske begrebsapparat udviklet for at understøtte beskrivelsen af undervisningen i det virkelige liv (Marie-Jeanne Perrin-Glorians historiske redegørelse er at langt argument for dette synspunkt) med udvikling for øje.

Radikalkonstruktivistisk inspirerede didaktikretninger har a priori ikke denne binding, men tager derimod udgangspunkt i en læringsteori, og så må beskrivelsen af undervisningen i virkelige liv underkastes denne. Og drivkraften i den franske skole, ønsket om den optimale undervisning, er tilsyneladende i direkte modstrid med de fremherskende læringsteorier. Jeremy Kilpatrick skriver nederst side 91:

Talrige amerikanske forskere er i øjeblikket så dybt opslugt i en radikal konstruktivisme, at de anser det for umuligt at forstå franskmændenes interesse for overførsel af viden og for reproducerbarheden af undervisningssituationer.

Transmission er nu om dage et afskyeligt udtryk. Et levn fra gamle dage, hvor vi troede, at børnene var tomme modtagere, som man var forpligtede til at fylde med informationer (skønt jeg ikke finder belæg for, at amerikanerne nogensinde har troet det). Reproducerbarhed antyder, at underviseren skulle ville styre undervisningen i en bestemt retning, selv om enhver amerikansk forsker, der er med på noderne, vil skrive under på, at underviserens rolle udelukkende består i at lette barnets læring.

Des nombreux chercheurs américains sont actuellement si profondément englués dans un constructivisme radical qu’ils éstime impossible de comprendre les préoccupations françaises

de transmission des savoirs et de reproductibilité de situations d’enseignement.

Transmission est de nos jours un terme horrible, une survivance des anciens temps où nous supposions que les enfants étaient des récipants vides que l’on se devait de remplir d’informations (bien que je ne trouve pas de confirmation que les Américains l’aient jamais cru). Réproductibilité suggère que l’enseignant pourrait vouloir diriger l’enseignement dans une direction déterminée alors que tout chercheur américain à la page vous dira que le rôle de l’enseignant consiste simplemet à faciliter l’apprentisage de l’enfant.

Pudsigt nok er det matematikfilosofiske og læringsteoretiske udgangspunkt for den franske skole ikke så forskelligt fra det radikalkonstruktivistiske – inspirationen fra Lakatos’ ”Proofs and Refutations” er tydelig (undervisningen skal være procesorienteret, og læring finder sted ved gentagen hypotesesopstilling og -forkastelse), og ikke mindst Piaget spiller en central rolle.

Men denne rolle afspejles først og fremmest i modelleringen af eleven i den undervisningsmodel, som skal optimeres.

Education and Didactique of Mathematics [5]

Artiklen er en oversat version af [6], som bygger på Guy Brousseaus oplæg ved Kongressen i Aguas Calientes i Mexico, 1999. Artiklen er yderst læseværdig. Guy Brousseau kommer vidt omkring, men vi vil her koncentrere os om hans gennemgang af teorien om didaktiske situationer i matematik.

Guy Brousseau fortæller om teoriens udspring:

..But in the 60s, the environment of the student was not in itself an object of study..

In the 60s, while I was still a student of mathematics and also studying cognitive psychology with Pierre GRECO, I was impressed by his cleverness in conceiving experiments arranged to expose the originality of children's mathematical thinking and the stages in their development. But I noted that he made no effort to analyze the design of the experiments that he invented and to make explicit the relationship between this design and the mathematical notion whose acquisition was being studied[JE1]

Idet han gør opmærksom på, at:

Mathematical equivalence does not imply cognitive equivalence.

kritiserer han:

..the overly precise use people made of it to talk about the acquisitions of a particular child in a particular situation..

It therefore seemed to me that this work needed to be extended to the study of the experiments themselves and their relationship to this or that knowledge: in what conditions could a subject — any subject — be induced to need this knowledge in order to make decisions, and why, a priori would he do it?

..In this perspective, the children's behaviors are what reveals the functioning of the milieu considered as a system[JE2] :

..This attitude leads naturally to considering a problem or exercise not as a simply re-formulation of a knowing, but as a device, as a milieu which "responds" to the subject according to some rules. What game should a subject play in order to have a need for this particular knowledge? What adventure — succession of games — could lead him to conceive of it or adopt it? In this approach, the subject need not be any better described than a checkers player, who plays the white or the black following an impersonal strategy. What information, what pertinent penalty should the subject receive from the milieu to orient her choices and take on this knowledge rather than that one?

..We gave the name "situation" to a model of the interaction of a subject with a certain milieu which determines a given knowledge as the means, for the subject, of obtaining or conserving a favorable state in this milieu

..Note that the same word "situation" serves, in its ordinary meaning, to describe not only the set (not necessarily determined) of conditions surrounding an action, but also the theoretical and possibly formal model used to study it.

In 1970 the scientific project was proposed: it consisted of modeling (and criticizing) the situations used to introduce or teach mathematical notions and imagining other more appropriate ones

..The project and the program of IREMs and the regulation of the reforms of the 70s are at the center of these events

..The search for and invention of situations characteristic of a variety of pieces of the mathematical knowledge taught in schools, the study and classification of their variations, the determination of their affect on the conceptions of the students, and the segmentation of notions and their organization into long teaching processes constitute the material of mathematical didactique and the terrain in which the Theory of Situations furnishes concepts and methods of study For teachers as for students, the presentation of the results of these works renovates the knowledge and the ideas they have of mathematics, and this even if they have to develop a whole new vocabulary

Herefter giver Guy Brousseau den lettest forståelige beskrivelse af, hvad han forstår ved didaktiske situationer, som jeg har set nogetsteds. Jeg har derfor valgt at gengive beskrivelsen i sin fulde ordlyd.

A situation models the relationships and interactions of one or more actors with a milieu (an environment). The model consists of

-a representation of the states of the milieu, and the changes which the actors can produce in it

-the goal of the action, generally an end state of the milieu and the benefit attached to it for the actor

-and the inventory of the choices permitted by a set of rules.

A piece of knowledge is pertinent in this situation if it is the means of mobilizing a strategy or a tactic within the framework of the choices permitted at each instant. Among the pertinent pieces of knowledge – ones that determine some choices – some are adequate: they make it possible to achieve the desired end state, and among these some are more efficient, more dependable or more economical than others.

This model makes it possible to identify the knowledge of a subject, or at least the part that her behavior reveals: it is a question of looking for the "simplest"" knowledge which would generate the "simplest"" strategy which coincides with the decisioins observed. It then makes it possible to compare it with other pertinent knowledge, in particular with the optimal knowledge in this situation. It is thus that we showed the importance of the procedures and knowledge of enumeration – independently of counting – in the learning of numbers and their operations.

For simplicity, let us return to our schematization of the situation by a triple: {actor, rules of interactions with the milieu, knowledge}.

Figure 4

This model is the one generally adopted to conceive of a general finalized activity in a general institution. The actor himself can be an institution.

.. The whole goal of the Theory of Situations is to make possible a local organization of elementary knowledge according to its level of appropriacy to the circumstances and possibilities of the subject, and at the same time to make possible its reorganization according to the logical and theoretical necessities which are the fruit of a quite different adaptation by society.

- "action"" , which consists for the actor of fixing a state of the milieu or of determining or limiting the actions of the other actors (materially or by imposed rules),(Figure 4)

- "communication"" , which consists of modifying the knowledge of another actor by means of messages carrying information,

Figure 5

- "proof"" , which deals with justification or cultural validation of acts or statements.

Each of these interactions is modeled by various types of situations and mobilizes various repertories of means.

For example, it is easy to show why "give a proof"" appears in a very different situation from a simple communication of information: the structure of the situation, that is, the position of the actors with respect to the milieu, is very different, as are also the game, the rules and the reportory of means of proof

.
Figure 6

In class, this classification of situations has favored the installation and observation of the passage from situations of argument to situations of proof. Without it the initiation into these practises is not easy to accomplish.

These situations are not only an important step in the mathematical process, they also bear the responsibility for an essential educational project: that of turning the student into a rational, socially autonomous and responsible being, capable of understanding how a truth is established and shared in a society, by debates which are both democratic and constructive.

..Certain situations with a didactical use have the property of permitting the student to make pertinent decisions on his own, to judge their effectiveness and to adapt himself to the milieu by the construction of the desired knowledge. These situations have a "non-didactical" model in the sense that they do not require a specific didactical intervention (other than devolution). [JE3]

Teorien om didaktiske situationer: Grundbegreberne

Den valgte tekst er fundet på Gruppo di Ricerca sull'Insegnamento delle Matematiche fra universitetet i Palermos hjemmeside, hvor en hel afdeling er tilegnet Brousseau. Jeg finder overskriften Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques aldeles misvisende. Det er ikke bare en gloseliste over nogle begreber.. Det er en artikel, som giver en ultrakort, sammenhængende gennemgang af de centrale begreber i teorien. Faktisk er det den bedste introduktion til teorien, jeg er stødt på. Jeg vil nedenfor supplere med enkelte kommentarer, men i det store hele vil jeg lade Brousseseaus artikel tale for sig selv.

Det har været et omfattende arbejde at oversætte den forholdsvis korte, men vanskelige tekst. Sproget lider af den samme skavank, som Guy Brousseau kritiserer visse typer undervisning for: For overhovedet at forstå spørgsmålene, skal man kende svarene i forvejen. Jeg skal ikke dvæle ved sproglige spidsfindigheder, men vil blot lige nævne, at der er langt mellem punktummerne i Guy Brousseaus tekster i al almindelighed. Dette kombineret med brugen af mange personlige stedord gør dem svære at læse. Det bliver ikke nødvendigvis meget bedre i engelsk oversættelse, hvor oplysninger om køn og kasus går tabt. Problemet er det samme ved oversættelse til dansk, men jeg har forsøgt at tydeliggøre oversættelsen og f.eks. skrive læreren i stedet for ”han”, hvis der var misforståelse mulig

Gloseliste

over nogle begreber fra teorien om didaktiske situationer

i matematik

1. Matematikkens didaktik

2. (Matematisk) situation

3. Teorien om didaktiske situationer i matematik

4. Aktant, miljø

5. Fundamental situation (svarende til erkendelse)

6. (A-didaktisk) handlingssituation (i forhold til viden)

7. Implicit model

8. (A-didaktisk) formuleringssituation (for viden)

9. (A-didaktisk) valideringssituation (social og kulturel)

10. Forhindringer

11. Institutionnaliseringssituation for viden

12. Radikalkonstruktivisme

13. Overdragelse

14. Didaktisk kontrakt

15. Viden og erkendelse [JE4]

16. Topaze-effekten

17. Jourdain-effekten

18. Metakognitive og metadidaktiske forskydninger

19. Misbrug af analogi

20. ”Diénès”-effekten

21. Skuespillerparadokset

22. Overdragelsesparadokset ved situationerne

1. Matematikkens didaktik

Det er videnskaben om de specifikke betingelser for udbredelsen af matematisk viden, som er nødvendig for menneskets beskæftigelse (i videste forstand). Den beskæftiger sig (i snæver forstand) med betingelserne, hvorunder en institution kaldet ”den undervisende” forsøger (bemyndiget om fornødent af en anden institution) at ændre en andens, kaldet ”den underviste”, viden, hvor sidstnævnte ikke er i stand til at gøre dette selv og ikke nødvendigvis føler behov for det. Et didaktisk projekt er et socialt projekt, som går ud på at få et subjekt eller en institution til at tilegne sig en erkendelse, som er konstitueret eller ved at blive konstitueret. Undervisningen består af samtlige handlinger, som søger at virkeliggøre det didaktiske projekt.

2. (Matematisk) situation

Vilkårene for en af de særlige anvendelser af en matematisk viden betragtes som udgørende et system kaldet en ”situation”.

En situation er:

På den ene side, et tænkt spil (som kan defineres matematisk), som tydeliggør et minimalt system af nødvendige betingelser, under hvilke en bestemt (matematisk) viden kan manifestere sig via beslutninger med observerbar effekt (i kraft af handlinger) af en aktant på et miljø.

På den anden side, en model som oven for, beregnet på at fortolke den del af et virkeligt subjekts observerbare beslutninger, som udspringer af dettes sammenhæng med en bestemt matematisk viden.

En situation i en institution er karakteriseret ved en samling af relationer og gensidige roller udført af et eller flere subjekter (elev, lærer, etc.) med et miljø, som sigter efter at ændre dette miljø ifølge et projekt.

Miljøet udgøres af objekterne (fysiske, kulturelle, sociale, menneskelige) med hvilke subjektet interagerer i en situation. Subjektet gennemgår en vis udvikling mellem mulige og autoriserede tilstande i dette miljø, hen imod en sluttilstand, som det mener, er i overensstemmelse med dets projekt.

Vi skal bemærke, at en opgave er en handling accepteret af aktanten a priori som værende velafgrænset, i en aftalt/vedtaget situation. Situationen tillader at ”forstå” lærerens og elevernes beslutninger, fejlagtige eller passende.

3. Teorien om didaktiske situationer i matematik

Teorien om situationer tjener altså to formål, dels studiet af objekternes indre sammenhæng og deres egenskaber (logiske, matematiske, ergonomiske), som er nødvendige for den logiske konstruktion af og opfindelsen af ”situationer”, dels den videnskabelige konfrontation (empirisk eller eksperimentel) af tilpasningen af disse modeller og deres karakteristika til det virkelige liv[JE5] .

De hypotetiske situationer, som der er tale om, tilhører to kategorier: De didaktiske situationer, hvor en aktant, for eksempel en lærer, organiserer en mekanisme, som manifesterer lærerens hensigt om at modificere en anden aktants viden eller lade viden føde hos denne, for eksempel en elev, og som tillader denne at udtrykke sig i handlinger, og de ”ikke-didaktiske” situationer hvor aktantens udvikling ikke er underkastet nogen som helst direkte didaktisk indgriben. Bemærk: Betegnelsen er ikke heldig, for en sådan situation kan være en del af et didaktisk projekt og som sådan siges at være ”didaktisk: som tjener til at undervise” ifølge almindelig sprogbrug). Modelleringen af virkelig undervisning fører til at kombinere de to: Visse didaktiske situationer udsætter subjektet for læringen for situationer delvis befriet for direkte indgriben: de a-didaktiske situationer. [JE6]

En situation modellerer det, der står på spil, og aktantens beslutningsmuligheder i et bestemt

miljø. Den er valgt således, at løsningsstrategien kun kan iværksættes/virkeliggøres takket være en bestemt matematisk viden, idet forekomsten af denne beslutning uden aktantens brug af den tilsigtede viden anses for højst usandsynlig. Metoden som består i at definere et matematisk objekt ved en række betingelser, som det er alene om at opfylde, er klassisk. Den eneste forskel her er, at samlingen af betingelser er et ”spil” i matematisk forstand. Bestemmelsen af en matematisk viden ud fra et problem, som denne viden er løsningen til, er en fremgangsmåde, der er lige så gammel som matematikken. TDSM er blot en teoretisering af denne fremgangsmåde. Der findes talrige situationer knyttet til den samme viden. På samme måde kan megen viden gribe ind i en eneste beslutning.

Et af målene med teorien om didaktiske situationer i matematik (TDSM) er at klassificere situationerne – og som følge heraf viden – som funktion af deres sammenhæng og af mulighederne for tilegnelse og for undervisning, som de frembyder. Teorien opdeler situationerne efter deres struktur (handling, formulering, validering[JE7] , institutionalisering etc.) som bestemmer forskellige former for viden (implicitte handlingsmodeller, sprog, teoremer…). Denne typologi forklarer også, og erfaringen viser, at måden, de tilegnes på, er forskellig.

4. Aktant, miljø

Miljøet er aktantens modspiller. I en handlingssituation, kalder man alt det, som indvirker på eleven eller/og det, som eleven indvirker på for "miljøet". Aktanten er ”det” som indvirker på miljøet i modellen på en rationel og økonomisk måde inden for rammerne af situationens regler. Som model for en elev eller mere generelt for et subjekt, handler aktanten som funktion af sit vidensregister.

Struktureringen af elevens didaktiske miljø danner en sammenkædning af situationer, svarende til klart adskilte projekter, og hvor hver eneste tjener som miljø for den næste. Miljøet for et matematisk begreb er sammenkædningen af miljøer af situationer, hvor den viden, som er forbundet med dette begreb forekommer som løsningsmiddel. Eksempel: Papiret, linealen og passeren skaber miljøet for den euklidiske geometri i planen.

5. Fundamental situation (svarende til erkendelse)

Det er et situationsskema, som ud fra det spil af didaktiske variable, som bestemmer dette, er i stand til at skabe samtlige situationer svarende til en bestemt erkendelse. En sådan situation tilbyder, når man kan identificere den, undervisningsmuligheder, men frem for alt en repræsentation af erkendelsen ved hjælp af de problemer, hvor den optræder, som tillader at finde vejen tilbage til den erkendelse, der skal undervises i.

6. (A-didaktisk) handlingssituation (i forhold til viden)

Det er en situation, hvor subjektets viden manifesterer sig udelukkende ved beslutninger, ved regelmæssige og effektive handlinger på miljøet, og hvor det er uden betydning for udviklingen af samspillet med miljøet, om aktanten er i stand til at identificere, tydeliggøre eller forklare den nødvendige viden eller ej.

7. Implicit model

Implicit handlingsmodel: Det er først og fremmest en så enkel som mulig systematisk beskrivelse af en aktants adfærd i en situation. Vi vil kalde den en strategi (gyldig i alle tilfælde) eller taktik (kun i visse tilfælde). Denne model kan benyttes til at forsøge at forudse et objekts faktiske adfærd, men den er konstrueret af observatøren efter objektive kriterier, hvad enten det observerede subjekt måtte være bevidst om, hvad det gør eller i stand til at gøre rede for det eller ej.

I TDSM er en implicit handlingsmodeldesuden en forenklet, men tilstrækkelig repræsentation af måden som en viden under en særlig form (f.eks. théorème en acte...[JE8] ) kan bestemme en aktants adfærd på i en given situation. Denne repræsentation af videns funktion i beslutningerne, ifølge sin gyldighed og sin brugbarhed under præcise omstændigheder er det grundlæggende instrument i TDSM som eksperimentel epistemologi.

8. (A-didaktisk) formuleringssituation (af viden)

Det er en situation, som sætter mindst 2 aktanter i forbindelse med et miljø. Deres fælles succes kræver, at den ene formulerer den pågældende viden (under en hvilken som helst form) med den hensigt, at den anden, som har brug for den for at omsætte den til en beslutning, som påvirker miljøet. Formuleringen består for dette aktantpar i at benytte et velkendt register til at formulere et originalt budskab, men situationen kan føre til modifikation af dette register. Man kan udlede teoretisk og verificere eksperimentelt, at en ”spontan” formulering af viden kræver, at denne viden eksisterer i forvejen som implicit handlingsmodel hos de to aktanter.

9. (A-didaktisk) valideringssituation (social og kulturel)

En valideringssituation er en situation hvis løsning kræver, at aktanterne sammen etablerer gyldigheden af den viden, som er karakteristisk for situationen. Dens faktiske gennemførelse afhænger altså også af hovedpersonernes evne til udtrykkeligt at etablere denne gyldighed sammen. Denne bygger på alles anerkendelse af en overensstemmelse med en norm, på en formel konstruerbarhed inden for et bestemt register af kendte regler eller teoremer, på en relevans af at beskrive elementer i en situation, og/eller en bekræftet enighed om at løse den. Den indebærer, at hovedpersonerne konfronterer deres mening om udviklingen i miljøet og bliver enige ifølge den videnskabelige debats regler.

10. Forhindringer

En forhindring er en samling af vanskeligheder for en aktant (subjekt eller institution), forbundet med aktantens opfattelse af et begreb. Denne opfattelse er blevet etableret ved korrekt aktivitet og tilegnelse, men under særlige omstændigheder, som har deformeret den eller begrænset gyldigheden af den. Vanskelighederne skabt af denne opfattelse er forbundet med ”ræsonnementer”, men også af de talrige omstændigheder, hvor denne opfattelse er involveret. Opfattelsen gør således modstand mod den ukomplicerede tilegnelse af en mere korrekt viden. Vanskelighederne forsvinder tilsyneladende, men de kommer igen på uventet vis og forårsager fejl af uanede årsager. Identifikationen af og den utvetydige indlemmelse af overvindelsen af en forhindring i den nye viden er generelt nødvendige betingelser for dennes korrekte brug.

Forhindringerne af ontogenetisk oprindelse er dem, som indtræffer på grund af subjektets begrænsninger (blandt andet neurofysiologiske) på et tidspunkt i dets udvikling: Det udvikler viden passende til dets midler og mål i den alder.

Forhindringerne af didaktisk oprindelse er dem, som synes kun at afhænge af et valg eller et projekt i uddannelsessystemet. For eksempel er den aktuelle præsentation af decimalbrøkerne på det elementære niveau resultatet af en lang udvikling inden for rammen af et didaktisk valg foretaget af encyclopædisterne, siden Nationalforsanlingen i Frankrig 1792: Deres brugbarhed taget i betragtning, skulle alle undervises i decimalbrøker så tidligt som muligt, forbundet med et målesystem, under henvisning til regneoperationerne inden for de hele tal. For eleverne i dag er decimaltallene således "hele naturlige tal med et skift af enhed", altså naturlige tal (med et komma) og måltal.

Forhindringerne af epistemologisk oprindelse er dem, man hverken kan eller bør undgå på grund af deres grundlæggende rolle i den tilsigtede viden. Man kan genfinde dem i begrebernes egen historiske udvikling. Det betyder ikke, at man skal forstærke deres effekt, ej heller at man skal reproducere de historiske betingelser i et skolemiljø, hvor man har overvundet dem.

11. Institutionaliseringssituation af viden

Det er en situation, som løses ved overgangen fra videns rolle som løsningsmåde i en handlings-, formulerings- eller valideringssituation, til en ny rolle som reference for fremtidige anvendelser, personlige eller kollektive. Eksempel: Løsningen af et problem kan, hvis den udnævnes som typisk blive til en metode eller et teorem.

Før institutionaliseringen, kan eleven ikke henvise til dette problem, som eleven ved, hvordan skal løses: Stillet over for et lignende problem, skal eleven producere beviset på ny. Efter institutionaliseringen, kan eleven derimod benytte teoremet uden at gentage beviset eller metoden uden at retfærdiggøre den. Institutionaliseringen tillader altså en konventionsændring mellem aktanterne, en anerkendelse (retfærdiggjort eller ej) af gyldigheden og af nytten af en viden, og en modifikation af denne viden - som er ”indkapslet” og udpeget – og en modifikation af dens funktion. Til en institutionalisering svarer altså en vis transformation af det fælles register accepteret og benyttet af hovedpersonerne.

Institutionaliseringen kan bestå i en tilføjelse til registret, men også en tilbagetrækning af en fælles overbevisning, som pludselig erkendes som falsk. Registrets viden fungerer med et spil af mere kompleks karakter i overensstemmelse med dets brug. En institutionalisering kan bestå af mere subtile modifikationer. For eksempel indførelsen af et sprogmisbrug som tegn på tilhørsforhold til en institution.

Institutionaliseringen kan allerede opstå i ikke didaktiske situationer af spontan selvtilegnelse og også i autodidaktiske processer. Det er så en intern vedtagelse i aktantgruppen (ikke didaktisk institutionalisering).

Men den[JE9] er naturligvis grundlæggende forbundet med den didaktiske proces og resulterer i en specifik intervention. Det er den, som tillader læreren og eleven at erkende og legitimere undervisningsobjektet, selv om de ser på det på forskellig måde. Den kan bestå i underviserens anerkendelse af værdien af et elevprodukt.

Den bekræfter altså: (1) at elevens forslag er gyldigt og anerkendt som sådan uden for den særlige kontekst af den foreliggende situation, (2) at det[JE10] vil kunne benyttes ved andre, endnu ukendte ulejligheder (3) at det så vil være mere fordelagtigt genkende det og at benytte det i dets reducerede form end at skulle etablere det på ny (4) at det vil blive umiddelbart accepteret af alle eller i det mindste af de indviede.

12. Radikalkonstruktivismen

Radikalkonstruktivismen er en pædagogisk teori, som hævder, at eleven kun tilegner sig viden, som eleven producerer selv. Den bedyrer altså med andre ord, at eleverne – uden anden didaktisk indgriben end valget af passende ikke-didaktiske situationer – kan (skal) producere viden ved en selvstændig konstruktion. Viden, som ækvivalerer den, som samfundet vil lære dem (og som det selv har konstrueret på en ikke-didaktisk måde).

Men den ikke-didaktiske institutionalisering af viden kan ikke bestemme sin videnskabelige værdi og sit gyldighedsområde a priori med udgangspunkt i en personlig og lokal udvikling. Selv i den historiske videnskabelige udvikling kan producenterne af viden kun gisne om vigtigheden og anvendelsen i fremtiden. Det er altså teknisk og retmæssigt umuligt for en lærer at bekræfte, at den ikke-didaktiske institutionalisering, som læreren kan observere hos eller opnå fra sine elever, frembringer viden ækvivalent med den, som er gangbar i samfundet, og som er frugten af begivenheder og af en historisk udvikling, som disse elever per definition er uvidende om. Denne observation fører til forkastelse af radikalkonstruktivismen som didaktisk model.[JE11]

13. Overdragelse

Proces ved hjælp af hvilken underviseren i en didaktisk situation opnår at gøre eleven til en simpel aktant i en a-didaktisk situation (i en ikke didaktisk model). Den stræber efter, at elevens handling derved ikke kun bliver et produkt af og retfærdiggjort af nødvendighed og viden i miljøet, og (heller) ikke af fortolkningen af lærerens didaktiske fremgangsmåde. Overdragelsen består for underviseren ikke kun i at udsætte eleven for en situation, som skal fremkalde en ikke aftalt aktivitet hos denne, men også i at gøre det på en måde, så eleven føler sig ansvarlig for at opnå det ønskede resultat, og at eleven accepterer den ide, at løsningen kun afhænger af udøvelsen af viden, som eleven allerede er i besiddelse af. Eleven påtager sig et ansvar under betingelser, som en voksen ville afvise, eftersom hvis der er et problem og derpå skabelse af viden, er det fordi der fra starten er tvivl og uvidenhed. Det er derfor overdragelsen skaber et ansvar men ikke en skyldfølelse i tilfælde af nederlag (se overdragelsens paradoks).

Overdragelsen er et modstykke til institutionaliseringen. Det er lærerens to didaktiske interventionsmuligheder i situationen ”elev-miljø-viden”. Den er et vigtigt element, sui generis for den didaktiske kontrakt.

14. Didaktisk kontrakt

Det er samlingen af gensidige forpligtelser og ”sanktioner” som enhver deltager i den

didaktisk situation

- pålægger eller tror, at vedkommende pålægger de andre, eksplicit eller implicit

- og dem, som pålægges deltageren, eller deltageren tror, denne pålægges, i forbindelse med den involverede viden. Den didaktiske kontrakt er resultatet af en ofte implicit ”forhandling” af vilkårene for etableringen af relationerne mellem en elev eller en gruppe elever, et vist miljø og et uddannelsessystem. Man kan mene, at lærerens forpligtelser over for samfundet, som uddelegerer læreren dennes didaktiske legitimitet, også er en afgørende del af den "didaktiske kontrakt".

I grunden er den didaktiske kontrakt ikke en rigtig kontrakt, for den er ikke eksplicit, indgåelsen er ej heller frivillig, fordi hverken betingelserne for brud eller sanktionerne er givne på forhånd på grund af deres didaktiske natur. Det som er vigtigt, afhænger af en for eleverne endnu ukendt viden.

Den er oven i købet ofte umulig at overholde. Den stiller læreren foran en i sandhed paradoksal fordring: Alt hvad læreren foretager sig for at frembringe den elevadfærd, som læreren forventer, går i retning af at formindske elevens usikkerhed og har derved en tendens til at frarøve eleven de betingelser, der er nødvendige for forståelsen og tilegnelsen af det tilsigtede begreb: Hvis læreren siger eller tilkendegiver, hvad læreren vil have eleven til at gøre, kan læreren ikke længere opnå det som andet end udførelsen af en ordre, og ikke ved træning af viden og dømmekraft (første didaktiske paradoks). (jf. Topaze-effekten, Jourdain-effekten).

Men eleven står også foran en paradoksal fordring: Hvis eleven accepterer at læreren, i henhold til kontrakten, lærer eleven resultaterne og svarene, etablerer eleven dem ikke selv, og indføres altså ikke i den nødvendige (matematiske) viden og kan ikke tilegne sig den. At ville lære, indebærer for eleven, at denne afviser den didaktiske kontakt for at påtage sig det selvstændige ansvar for problemet. Tilegnelsen hviler altså ikke på, at kontrakten virker godt, men på dens brud og justeringer. Når der sker brud (nederlag for eleven eller læreren) opfører deltagerne sig, som om der havde været en kontrakt imellem dem. Faktisk er kontrakten en form for definition af en didaktisk situation. Situationen er ækvivalent med kontrakten, men tillader at opstille en fortegnelse over kontrakter i overensstemmelse med fordelingen af ansvar mellem underviseren og eleven.

15. Viden, erkendelse

TS fremviser diverse former for viden som midler til at træffe en beslutning, at vælge en handling, en formulering, et bevis etc. Den således tildelte betydning af “viden” svarer temmelig godt til den givet af Le Littré ”en præcis ide om en realitet, om dens situation, om dens mening og dens karakter, om dens funktion” (acception 3) hvis man undtager kravet om præcision (eftersom subjektet kan have upræcis viden set med observatørens øjne). Men TS beskriver også hele kæden af gensidige relationer tilbage til til den første form for viden: Hvordan formuleringen nødvendigvis bygger på implicitte modeller, validering på formuleringer, institutionaliseringen på påstande etc.

En situation, hvor viden, som har tjent som beslutningsmiddel andetsteds, eksplicit er genstanden for en handling eller et studium, en identifikation, en klassifikation, en artikulation sammen med andre etc., giver altså denne viden en anden funktion: Funktionen som objekt for subjektets handling. Vi kalder disse nye objekter: ”erkendelser” (flertal er altså mulig), når de fremviser egenskaber som stabilitet, gyldighed etc..

I disse situationer, hvor det håndterer erkendelse, benytter subjektet viden i den foregående betydning, som ikke er dets studieobjekt, men dets middel. Således kan det samme udsagn være en viden eller en erkendelse alt efter dets rolle i en situation. For eksempel er de spontane modeller i den elementære dynamik former for viden for kvalitative situationer, i modsætning til de erkendelser, som manifesterer sig i beregningerne. Et andet eksempel: ordlyden af et teorem kan i et givent øjeblik betragtes som erkendelse (hvis det er en reference, eller et studieobjekt etc.), dets bevis som en viden, et middel til at overbevise sig om sandheden af teoremet. Men et øjeblik senere vil beviset kunne blive en erkendelse, genstanden for en nøjere afprøvning. For observatøren er en erkendelse et middel til at genkende og behandle viden og sammenhænge mellem viden (som var ideer om en virkelighed i andre situationer), hvilket manifesterer sig ved omredigering, metasprog, etc.

Omdannelsen af viden – det vil sige fra et beslutningsmiddel - til erkendelse, og omdannelsen af erkendelse til beslutningsmiddel kan virke indlysende og mekanisk eller som resultatet af et simpelt skift i synsvinkel. Omdannelsen fra den ene til den anden kan tage århundrederfor menneskeheden og koste eleven betragtelige anstrengelser. Denne skelnen er vigtig inden for didaktik: Kun erkendelse er forholdsvis let behandlet i evalueringerne og i de aktuelle didaktiske beslutninger. Men viden er uundværlig for igangsættelsen af erkendelse. Beslutninger truffet uden at tage hensyn hertil fører til dårlige rettelser og vildledende resultater.

Udtrykkene ”viden” og ”erkendelse” er næsten synonymer på fransk og kan kun oversættes med et enkelt ord i talrige sprog. Desuden er de generelt forbundet med ideen om præcission, om videnskabelig ”objektiv” gyldighed. Men TS interesserer sig for den virkelige funktion af det, som træder i stedet for viden eller erkendelse[JE12] i en situation eller i en given institution, som kan være uvidende om sandheden, som observatøren kender. Det er derfor vi har foreslået udtrykkene c-knowledge (c fra græsk cognocere, som fødes med viden) og s-knowledge (s fra latin sapere at værdsætte smagen – af viden) for at undgå misforståelser.

TS tillader at nuancere sammenhængen mellem viden og en aktants beslutninger i et miljø. TS tillader derved i analysen af viden at erstatte funktionen med den simple repræsentation: den viden, med hvilken observatøren beskriver miljøet, og den, som observatøren tildeler aktanten i forbindelse med dette miljø, er ikke nødvendigvis analoge.

16. Topaze-effekten

Den første scene fra Marcel Pagnols berømte skuespil "Topaze" illustrerer en af de grundlæggende processer i kontrollen af usikkerhed: Læreren dikterer en diktat til en dårlig elev; idet han ikke kan acceptere for mange for grove fejl og heller ikke kan angive den forlangte stavemåde direkte, "antyder" han svaret skjult bag mere og mere gennemskuelig didaktisk kodning. Problemet ændrer fuldstændig karakter, underviseren tigger om et tegn på tilslutning og slækker på betingelserne, under hvilke eleven skal slutte med at give det forventede svar. Læreren sluttede med at påtage sig det meste af arbejdet. Svaret, som eleven skal give, er bestemt på forhånd, læreren vælger spørgsmålene, så svaret passer. Naturligvis ændrer den viden, der er nødvendig for at producere disse svar også betydning. Ved at tage lettere og lettere spørgsmål, forsøger læreren at bevare den maksimale betydning for flest elever. Hvis den tilsigtede viden forsvinder fuldstændig, er det Topaze-effekten.

17. Jourdain-effekten

Opkaldt således under henvisning til den scene i "Bourgeois Gentilhomme"[JE13] hvor filosofilæreren afslører for Jourdain, hvad prosa og vokaler er. Hele komikken i scenen er baseret på det latterlige i denne gentagne helliggørelse dagligdags aktiviteter i en lærd diskurs. For at undgå at skulle diskutere viden med eleven og eventuel lide nederlag, giver læreren udtryk for at genkende tegn på lærd viden i elevernes adfærd eller svar, skønt de faktisk er motiveret af banale årsager og betydninger. Det er en form for Topaze-effekt.

18. Metakognitive og metadidaktiske forskydninger

Den metakognitive forskydning er erstatningen af en viden med en af dens modeller ved en beskrivelse i metasprog. Den metadidaktiske forskydning er den didaktiske proces, som fører til den hæmningsløse didaktiske anvendelse af metakognitive forskydninger.

Når en undervisningsaktivitet har fejlet, kan læreren ledes til at retfærdiggøre sig og, for at fortsætte sin handling, at opfatte sine egne forklaringer og sine heuristike midler som studieobjekter i stedet for den ægte matematiske viden. Fra studieobjekter bliver de ved den samme proces undervisningsobjekter. Denne effekt kan gentage sig selv, ophobes mange gange, vedrøre et helt fællesskab og udgøre en veritabel proces uden for sine aktørers kontrol.

Det mest slående eksempel er sandsynligvis det, som angår brugen af grafer i 60'erne for at undervise i strukturer, en metode knyttet til navnet G. Papy. Egenskaberne eller de matematiske objekter blev defineret ved prædikater, som selv blev repræsenteret ved mængder, repræsenteret ved grafer, som selv blev repræsenteret ved bollediagrammer etc. Hvert niveau havde sit eget sprog og metasprog. En refleksiv relation blev ”en relation krøllet overalt ”.

19. Misbrug af analogi

Det er en didaktisk fremgangsmåde som benytter analogien som argument for at få nogen til at acceptere og lære en viden ved akkumulering af ”analoge” tilfælde. Analogien er et fremragende heuristisk middel, når den bliver brugt under ansvar af den, som bruger den. Men anvendelsen i didaktisk sammenhæng udgør et farligt middel til at producere Topaze-effekt.

Det er dog en naturlig praksis; hvis elever har fejlet i deres tilegnelse, er det nødvendigt at give dem en ny chance inden for det samme emne. Det ved de. Selv hvis læreren skjuler den kendsgerning, at det nye problem ligner det gamle, vil eleverne søge – det er legitimt – den løsning som de allerede har fået. Dette svar betyder ikke, at de finder det egnet til det stillede spørgsmål, men kun at de ved hjælp af indicier, måske helt igennem irrelevante og ukontrollerede, har opdaget, at læreren ville have, at de producerede det. De opnår løsningen ved at aflæse didaktiske indikationer og ikke ved fordybelse i problemet. Og det har de interesse i, for efter flere nederlag ved lignende, men ikke dokumenterede, ikke erkendte problemer støtter læreren sig til disse pludseligt genopfriskede analogier, for at foreholde eleven dennes hårdnakkede modstand (denne effekt er benyttet af R. Devos i hans sketch om de to ender af et stykke træ). "Jeg har sagt det til jer for et stykke tid[JE14] siden!"

Andre retoriske fremgangsmåder blandt andet metaforer og metonymier anvendes på den samme måde. Modstriden kommer af, at reglen, ved hjælp af hvilken man vil have eleverne til at acceptere viden, fornægtes i den underviste viden: i matematik kan intet begrundes med en sammenligning[JE15] .

20. ”Diénès” effekt

Jo mere læreren er overbevist om succesen af virkningerne af en mekanisme eller et didaktisk materiale og psykologiske eller andre ”love”, uafhængige af lærerens personlige investeringer, des mere risikerer læreren at fejle... ! Dette fænomen kunne forklare hvorfor undervisningen lykkes for nyskabende og nyomvendte lærere, hvorimod fornyerne, som sætter deres lid til metoden, fejler. Vi kalder dette fænomen Diénès-effekten under henvisning til en undersøgelse vedrørende udbredelsen af moderne matematik i den obligatoriske undervisning ifølge en metode forslået af Zoltan Dienès. Eksistensen af denne effekt viser nødvendigheden af at integrere lærer-elevforholdet i enhver didaktisk teori.

21. Skuespiller-paradokset

Diderot har i et berømt essay formuleret et paradoks, som er uløseligt forbundet med skuespillerens aktivitet: Jo mere skuespilleren føler de følelser, som han vil vise, des mindre er han i stand til at få tilskueren til at føle dem, for "som uafbrudt iagttager af de effekter, han producerer, bliver skuespilleren en slags tilskuer til tilskuerne samtidig med, at han er det til sig selv og således kan perfektionere sit spil". Dette paradoks kan udstrækkes til lærerens tilfælde. Hvis læreren selv producerer sine spørgsmål og svar om matematik, fratager læreren eleven muligheden for indflydelse. Læreren skal altså give tid, lade spørgsmål forblive ubesvaret, benytte dem, som eleven stiller læreren og integrere dem i sin egen fremgangsmåde, idet læreren giver dem mere og mere plads... Dette idylliske skema kan forløbe, så længe læreren frembringer en ny erkendelse, men hvis erkendelsen er bestemt på forhånd, er denne "frihed”, ikke andet end et skuespil og eleven er tilskyndet til at være en anden skuespiller, bundet til en tekst eller i det mindste en skitse, som eleven anses for at være uvidende om.

Skuespillerparadokset viser en modsat effekt til Diénès-effekten. Det siger, at hvis læreren føler de sammenhænge, som læreren vil undervise i, i første person, kan læreren ikke overdrage disse til eleverne. Men hvis læreren ikke investerer et personligt ønske om og ansvar for sine elevers succes, kan overdragelsen, som læreren tilbyder, ikke accepteres. Den didaktiske relation opretholdes ved en dynamisk ligevægt mellem disse to effekter.

22. Overdragelsesparadokset ved situationerne

Læreren er socialt forpligtet til at undervise i alt det, der er nødvendigt med hensyn til erkendelsen. Eleven forlanger det – især når eleven har fejlet – af læreren. Altså, jo mere læreren således giver efter for disse krav og afslører, hvad læreren ønsker, jo mere læreren siger til eleven, præcis hvad denne skal gøre, des mere risikerer læreren at miste sine chancer for at opnå og objektivt at konstatere tilegnelsen, som læreren i virkeligheden skal sigte efter. Det er det første paradoks: Det er ikke fuldstændig en modstrid, men erkendelsen og undervisningsprojektet vil være nødt til at udvikle sig i dølgsmål. Denne didaktiske kontrakt stiller altså læreren foran en i sandhed paradoksal fordring: Alt hvad læreren foretager sig for at frembringe den elevadfærd, som læreren forventer, har en tendens til at berøve eleven de nødvendige betingelser for forståelsen og tilegnelsen af det tilsigtede begreb: Hvis læreren siger, hvad læreren vil opnå, kan læreren ikke længere opnå det. Men eleven står også foran en paradoksal fordring: Hvis eleven accepterer at læreren, i henhold til kontrakten, lærer eleven resultaterne, etablerer eleven dem ikke selv, og altså lærer eleven ikke matematik, eleven tilegner sig den ikke. Hvis eleven modsætningsvis afviser al information fra læreren, sprænges den didaktiske relation. At lære, indebærer for eleven, at denne accepterer den didaktiske relation, men at eleven betragter den som foreløbig og anstrenger sig for at afvise den.

Guy Brousseau har redigeret og læst korrektur på alle disse “definitioner” udvalgt af Bernard Sarrazy

Glossaire

de quelques concepts de la théorie des situations

didactiques en mathématiques

1. Didactique des mathématiques

2. Situation (mathématique)

3. Théorie des situations didactique en mathématiques

4. Actant, Milieu

5. Situation fondamentale (correspondant à un savoir)

6. Situation (a-didactique) d’action (relative une connaissance)

7. Modèle implicite

8. Situation (a-didactique) de formulation (d’une connaissance)

9. Situation (a-didactique) de validation (sociale et culturelle)

10. Obstacles

11. Situation d’institutionnalisation d’une connaissance

12. Constructivisme radical

13. Dévolution

14. Contrat didactique

15. Connaissances et savoirs

16. Effet Topaze

17. Effet Jourdain

18. Glissements métacognitif et metadidactique

19. L'usage abusif de l'analogie

20. Effet «Diénès »

21 Paradoxe du comédien

22 Paradoxe de la dévolution des situations

1. Didactique des mathématiques

C’est la science des conditions spécifiques de la diffusion des connaissances mathématiques

nécessaires aux occupations des hommes (sens large). Elle s’occupe (sens restreint) des

conditions où une institution dite « enseignante » tente (mandatée au besoin par une autre institution) de modifier les connaissances d’une autre dite « enseignée » alors que cette dernière n’est pas en mesure de le faire de façon autonome et n’en ressent pas nécessairement le besoin. Un projet didactique est un projet social de faire approprier par un sujet ou par une institution un savoir constitué ou en voie de constitution. L’enseignement comprend

l’ensemble des actions qui cherchent à réaliser ce projet didactique.

2. Situation (mathématique)

Les conditions d’une des utilisations particulières d’une connaissance mathématique sont considérées comme formant un système appelé « situation ».

Une situation est

D’une part, un jeu hypothétique (qui peut être défini mathématiquement), qui explicite un système minimal de conditions nécessaires dans lesquelles une connaissance (mathématique) déterminée, peut se manifester par les décisions aux effets observables (des actions) d’un actant sur un milieu.

D’autre part, un modèle du type ci-dessus, destiné à interpréter la partie des décisions observables d’un sujet réel qui relèvent de son rapport à une connaissance mathématique déterminée.

Une situation est caractérisée dans une institution par un ensemble de relations et de rôles réciproques d’un ou de plusieurs sujet (élève, professeur, etc.) avec un milieu, visant la transformation de ce milieu selon un projet.

Le milieu est constitué des objets (physiques,

culturels, sociaux, humains) avec lesquels le sujet interagit dans une situation. Le sujet détermine une certaine évolution parmi des états possibles et autorisés de ce milieu, vers un état terminal qu’il juge conforme à son projet. Remarquons qu’une tâche est une action acceptée a priori par l’actant comme étant déterminée, dans une situation convenue. La

situation permet de « comprendre » les décisions du professeur et des élèves, erreurs ou appropriées.

3. Théorie des situations didactiques en mathématiques

« La théorie des situations comporte donc deux objectifs, d’une part l’étude de la consistance

des objets et de leurs propriétés (logiques, mathématiques, ergonomiques), nécessaires à la

construction logique et à l’invention de « situations », et d’autre part la confrontation scientifique (empirique ou expérimentale) de l’adaptation de ces modèles et de leurs caractéristiques avec la contingence.

Les situations hypothétiques considérées appartiennent à deux catégories : les situations

didactiques où un actant, un professeur, par exemple, organise un dispositif qui manifeste son intention de modifier ou de faire naître les connaissances d’un autre actant, un élève par

exemple et lui permet de s’exprimer en actions, et les situations « non didactiques » où

l’évolution de l’actant n’est soumise à aucune intervention didactique directe. Rq : la

dénomination n’est pas heureuse car une telle situation peut servir dans un projet didactique et

à ce titre être dite « didactique : qui sert à enseigner », suivant l’usage commun). La modélisation des enseignements effectifs conduit à combiner les deux : certaines situations didactiques ménagent au sujet de l’apprentissage des situations partiellement libérées d’interventions directes : les situations a-didactiques.

Une situation modélise les enjeux et les possibilités de décision d’un actant dans un certain milieu. Elle est choisie de telle manière que la stratégie de résolution ne puisse être mise en œuvre que grâce à une certaine connaissance mathématique, l’apparition de cette décision sans l’usage par l’actant de la connaissance visée étant hautement improbable. La méthode qui consiste à définir un objet mathématique par un ensemble de relations qu’il est seul à satisfaire est classique. La seule différence ici est que l’ensemble des relations est un « jeu » au sens mathématique. La détermination d’une connaissance mathématique par un problème dont cette connaissance est la solution est un procédé aussi ancien que les mathématiques. La TSDM est simplement une théorisation de ce procédé. Il existe de nombreuses situations relatives à une même connaissance. De même, de nombreuses connaissances peuvent intervenir dans une décision unique.

Un des objets de la théorie des situations didactiques en mathématiques (T.S.D.M) est de classer les situations et par conséquent les connaissances en fonction de leurs rapports et des possibilités d’apprentissage et d’enseignement qu’elles offrent. La théorie classe les situations selon leur structure (action, formulation, validation, institutionnalisation etc.) lesquelles déterminent des types de connaissances (modèles implicites d’action, langages, théorèmes…) différents. Cette typologie explique aussi et l’expérience montre que leurs modes d’apprentissages sont différents.

4. Actant, Milieu

Le milieu est le système antagoniste de l’actant. Dans une situation d’action, on appelle

"milieu" tout ce qui agit sur l'élève ou / et ce sur quoi l'élève agit. L’actant est « ce » qui dans le modèle agit sur le milieu de façon rationnelle et économique dans le cadre des règles de la situation. En tant que modèle d’un élève ou plus généralement d’un sujet, il agit en fonction de son répertoire de connaissances.

La structuration du milieu didactique de l’élève fait apparaître un emboîtement de situations

correspondant à des projets distincts et dont chacune sert de milieu à la suivante. Le milieu d’un concept mathématique est l’agrégat des milieux des situations où les connaissances liées à ce concept apparaissent comme moyen de résolution. Exemple : la feuille de papier, la règle graduée et le compas engendrent le milieu de la géométrie plane

euclidienne.

5. Situation fondamentale (correspondant à un savoir)

C'est un schéma de situation capable d'engendrer par le jeu des variables didactiques qui la déterminent, l'ensemble des situations correspondant à un savoir déterminé. Une telle situation, lorsqu’on peut l’identifier, offre des possibilités d'enseignement mais surtout une représentation du savoir par les problèmes où il intervient permettant de restituer le sens du savoir à enseigner.

6. Situation (a-didactique) d’action (relative à une connaissance)

C’est une situation où la connaissance du sujet se manifeste seulement par des décisions, par des actions régulières et efficaces sur le milieu et où il est sans importance pour l’évolution des interactions avec le milieu que l’actant puisse ou non identifier, expliciter ou expliquer la connaissance nécessaire.

7. Modèle implicite

Modèle implicite d’action : C'est d’abord une description systématique aussi simple que

possible des comportements d’un actant dans une situation. On l'appellera stratégie (valable pour tous les cas) ou tactique (pour certains seulement). Ce modèle peut être utilisé pour tenter de prévoir les comportements effectifs d’un sujet, mais il est construit par l’observateur d’après des critères objectifs, que le sujet observé ait conscience ou non de ce qu’il fait et qu’il soit capable de l’expliciter ou non.En T.S.D.M. un Modèle implicite d’action est, de plus, une représentation simplifiée mais

suffisante de la façon dont une connaissance sous une forme particulière (ex. théorème en acte...) peut déterminer les comportements d’un actant dans une situation donnée. Cette représentation du fonctionnement des connaissances dans les décisions, suivant leur validité et leur utilité dans des circonstances précises est l’instrument fondamental de la TSDM comme épistémologie expérimentale.

8. Situation (a-didactique) de formulation (d’une connaissance)

C’est une situation qui met en rapport au moins deux actants avec un milieu. Leur succès commun exige que l’un formule la connaissance en question (sous une forme quelconque) à l’intention de l’autre qui en a besoin pour la convertir en décision efficace sur le milieu. La formulation consiste pour ce couple d’actants à utiliser un répertoire connu pour formuler un message original, mais la situation peut conduire à modifier ce répertoire. On peut déduire théoriquement et vérifier expérimentalement qu’une formulation « spontanée » de connaissance exige que cette connaissance existe préalablement comme modèle implicite d’action chez les deux actants.

9. Situation (a-didactique) de validation (sociale et culturelle)

Une situation de validation est une situation dont la solution exige que les actants établissent

ensemble la validité de la connaissance caractéristique de cette situation. Sa réalisation

effective dépend donc aussi de la capacité des protagonistes d'établir ensemble explicitement

cette validité. Celle-ci s'appuie sur la reconnaissance par tous d'une conformité à une norme, d'une constructibilité formelle dans un certain répertoire de règles ou de théorèmes connus, d'une pertinence pour décrire des éléments d'une situation, et/ou d'une adéquation vérifiée pour la résoudre. Elle implique que les protagonistes confrontent leurs avis sur l’évolution du milieu et s’accordent selon les règles du débat scientifique.

10. Obstacles

Un obstacle est un ensemble de difficultés d’un actant (sujet ou institution), liées à « sa »

conception d’une notion. Cette conception a été établie par une activité et par une adaptation

correctes, mais dans des conditions particulières, qui l’ont déformée ou qui en ont limité la portée. Les difficultés créées par cette conception sont liées par des « raisonnements » mais aussi par les nombreuses circonstances où cette conception intervient.

Ainsi la conception résiste au simple apprentissage d’une connaissance plus correcte. Les difficultés semblent disparaître, mais elles réapparaissent de façon inattendues et causent des erreurs par des relations insoupçonnées. L’identification et l’inclusion explicite du rejet d’un obstacle dans la nouvelle connaissance sont généralement des conditions nécessaires à son usage correct.

Les obstacles d'origine ontogénique sont ceux qui surviennent du fait des limitations

(neurophysiologiques entre autres) du sujet à un moment de son développement: il développe

des connaissances appropriées à ses moyens et à ses buts à cet âge là.

Les obstacles d'origine didactique sont ceux qui semblent ne dépendre que d'un choix ou d'un

projet du système éducatif. Par exemple, la présentation actuelle des décimaux au niveau

élémentaire est le résultat d'une longue évolution dans le cadre d'un choix didactique fait par les encyclopédistes puis par la Convention: compte tenu de leur utilité, les décimaux allaient être enseignés à tout le monde le plus tôt possible, associés à un système de mesure, et en se référant aux techniques d'opération dans les entiers. Ainsi, aujourd'hui, les décimaux sont, pour les élèves, "des entiers naturels avec un changement d'unité", donc des "naturels" (avec une virgule) et des mesures.

Les obstacles d'origine épistémologique sont ceux auxquels on ne peut, ni ne doit échapper, du fait même de leur rôle constitutif dans la connaissance visée. On peut les retrouver dans

l'histoire des concepts eux-mêmes. Cela ne veut pas dire qu'on doit amplifier leur effet ni

qu'on doit reproduire en milieu scolaire les conditions historiques où on les a vaincus.

11. Situation d’institutionnalisation d’une connaissance

C’est une situation qui se dénoue par le passage d’une connaissance de son rôle de moyen de

résolution d’une situation d’action, de formulation ou de preuve, à un nouveau rôle, celui de référence pour des utilisations futures, personnelles ou collectives. Exemple : la résolution d’un problème, si elle déclarée typique peut devenir méthode ou théorème. Avant institutionnalisation, l’élève ne peut pas se référer à ce problème qu’il sait résoudre : devant un problème semblable, il doit produire à nouveau la démonstration. Au contraire après

l’institutionnalisation, il peut utiliser le théorème sans en redonner la démonstration ou la méthode sans la justifier. L’institutionnalisation comporte donc un changement de convention entre les actants, une reconnaissance (justifiée ou non) de la validité et de l’utilité d’une connaissance, et une modification de cette connaissance - qui est « encapsulée » et désignée - et une modification de son fonctionnement. Il correspond donc à une institutionnalisation une certaine transformation du répertoire commun accepté et utilisé par ses protagonistes.

L’institutionnalisation peut consister en une adjonction au répertoire mais aussi en un retrait

d’une croyance commune reconnue soudain comme fausse. Les connaissances du répertoire

fonctionnent avec un jeu de status plus complexe, suivant leur usage. Une institutionnalisation peut consister en modifications plus subtiles. Par exemple l’adoption d’un abus de langage comme signe de l’appartenance à une institution.

L’institutionnalisation peut déjà se produire dans des situations non didactiques d’autoapprentissage spontané et aussi dans des processus auto-didactiques, c’est alors une convention interne au groupe d’actants (institutionnalisation non didactique).

Mais elle est évidemment fondamentalement liée au processus didactique et résulte d’une intervention spécifique. C’est elle qui permet au professeur et à l’élève de reconnaître et de légitimer « l’objet de l’enseignement », même s’ils le voient de façons différentes. Elle peut consister en la reconnaissance par l'enseignant de la valeur d’une production des élèves.

Elle affirme alors : (1) que la proposition de l’élève est valide et reconnue comme telle hors du contexte particulier de la situation présente, (2) qu'elle servira dans d'autres occasions, encore non connues, (3) qu’il sera alors plus avantageux de la reconnaître et de l’utiliser sous sa forme réduite que de l’établir à nouveau (4) qu’elle sera acceptée directement par tous ou au moins par les initiés.

12. Constructivisme radical

Le constructivisme radical est une théorie pédagogique qui affirme que l’élève ne s’approprie que les connaissances qu’il produit lui-même. Elle assure donc en d’autres termes, que sans autre intervention didactique que le choix des situations non didactiques appropriées, les élèves peuvent (doivent) produire, par une construction autonome, des connaissances équivalentes à celles que la société veut leur enseigner ( et qu’elle a elle même construites de façon non didactique).

Or l’institutionnalisation non didactique d’une connaissance ne peut pas déterminer a priori sa

valeur scientifique et sa portée à partir d’un processus personnel et local. Même dans les

processus scientifiques historiques, pour l’avenir, les producteurs d’une connaissance ne peuvent qu’en supputer l’importance et l’usage. Il est donc techniquement et légitimement impossible à un professeur d’affirmer que l’institutionnalisation non didactique qu’il peut observer ou obtenir de ses élèves produit des connaissances équivalentes à celles qui ont cours dans la société et qui sont le fruit d’événements et de processus historiques, que par définition ces élèves ignorent. Cette observation condamne le constructivisme radical comme modèle didactique.

13. Dévolution

Processus par lequel l'enseignant parvient dans une situation didactique à placer l'élève comme simple actant dans une situation a-didactique (à modèle non didactique). Il cherche par là à ce que l’action de l’élève ne soit produite et justifiée que par les nécessités du milieu et par ses connaissances, et non par l’interprétation des procédés didactiques du professeur. La dévolution consiste pour l’enseignant, non seulement, à proposer à l'élève une situation qui doit susciter chez lui une activité non convenue, mais aussi à faire en sorte qu'il se sente responsable de l’obtention du résultat proposé, et qu’il accepte l’idée que la solution ne dépend que de l’exercice des connaissances qu’il possède déjà. L’élève accepte une responsabilité dans des conditions qu’un adulte refuserait puisque s’il y a problème puis

création de connaissance, c’est parce qu’il d’abord doute et ignorance. C’est pourquoi la

dévolution créée une responsabilité mais pas une culpabilité en cas d’échec (voir paradoxe de la dévolution).

La dévolution, fait pendant à l'institutionnalisation. Ce sont les deux interventions didactiques du professeur sur la situation « élève –milieu -connaissance ». Elle est un élément important sui generis du contrat didactique.

14. Contrat didactique.

C’est l’ensemble des obligations réciproques et des « sanctions » que chaque partenaire de la

situation didactique

- impose ou croit imposer, explicitement ou implicitement, aux autres

- et celles qu’on lui impose ou qu’il croit qu’on lui impose, à propos de la connaissance en cause. Le contrat didactique est le résultat d’une

« négociation » souvent implicite des modalités d’établissement des rapports entre un élève

ou un groupe d'élèves, un certain milieu et un système éducatif. On peut considérer que les

obligations du professeur vis à vis de la société qui lui délègue sa légitimité didactique sont

aussi une partie déterminante du "contrat didactique".

Le contrat didactique n'est pas en fait un vrai contrat car il n'est pas explicite, ni librement consenti, et parce que ni les conditions de ruptures, ni les sanctions ne peuvent être données à l’avance puisque leur nature didactique, celle qui importe, dépend d’une connaissance encore inconnue des élèves .

De plus il est souvent intenable. Il met le professeur devant une véritable injonction paradoxale : tout ce qu'il fait pour faire produire, par les élèves les comportements qu'il attend, tend à diminuer l’incertitude de l’élève et par là à priver ce dernier des conditions nécessaires à la compréhension et à l'apprentissage de la notion visée: si le maître dit ou signifie ce qu'il veut que l’élève fasse, il ne peut plus l'obtenir que comme exécution d’un ordre et non par l’exercice de ses connaissances et de son jugement (premier paradoxe didactique). (Cf. l'effet Topaze, l'effet Jourdain).

Mais l'élève est lui aussi devant une injonction paradoxale: s'il accepte que, selon le contrat, le maître lui enseigne les solutions et les réponses, il ne les établit pas lui-même et donc, n’engage pas les connaissances (mathématiques) nécessaires et ne peut se les approprier ; Vouloir apprendre, impliquerait alors pour lui de refuser le contrat didactique pour prendre en charge le problème de façon autonome. L'apprentissage va donc reposer, non pas sur le bon fonctionnement du contrat, mais sur ses ruptures et ses ajustements. Lorsqu’il y a rupture (échec de l’élève ou du professeur) les partenaires se comportent comme s’il y avait eu entre eux un contrat. En fait le contrat est une forme de définition d’une situation didactique. Elle lui est équivalente, mais elle permet de dresser un inventaire des contrats suivant la répartition des responsabilités entre l’enseignant et l’élève.

15. Connaissances, savoirs

La T.S. fait apparaître divers formes de connaissances comme moyens de prendre une décision, de choisir une action, une formulation, une preuve etc.. Le sens ainsi donné à « connaissance » correspond assez bien à celui donné par Le Littré « d’idée exacte d’une réalité, de sa situation, de son sens de son caractère de son fonctionnement » (acception 3) si on excepte la condition d’exactitude (puisque le sujet peut avoir une connaissance inexacte aux yeux de l’observateur). Mais la T.S. décrit aussi tout une chaîne de rapports réflexifs à cette première forme de connaissance : comment la formulation opère nécessairement sur des modèles implicites, la validation sur des formulations, l’institutionnalisation sur des assertions etc.

Une situation où les connaissances qui ont servi ailleurs comme moyen de décision, sont explicitement l’objet d’une action ou d’une étude, d’une identification, d’une classification, d’une articulation avec d’autres etc. donne alors à ces connaissances une autre fonction : celle d’objets de l’action du sujet. Nous appelons ces nouveaux objets : « savoirs » (le pluriel est alors possible), lorsqu’ils présentent certains caractères de stabilité, de validité etc.. Dans ces situations où il manipule des savoirs, le sujet utilise des connaissances au sens précédent, qui, elles, ne sont pas son objet d’études mais ses moyens. Ainsi un même énoncé peut être une connaissance ou un savoir suivant son rôle dans une situation. Par exemple les modèles spontanés en dynamique élémentaire sont des formes de connaissance des situations qualitatives, opposées aux savoirs qui se manifestent dans les calculs. Autre exemple: l’énoncé d’un théorème peut être à un moment donné considéré comme un savoir (s’il est une référence, ou un objet d’étude etc.), sa démonstration comme une connaissance, un moyen de se convaincre de la vérité du théorème. Mais un moment plus tard la démonstration pourra devenir un savoir, l’objet d’une vérification serrée. Pour l’observateur un savoir est un moyen de reconnaître et de traiter des connaissances et des rapports entre connaissances (lesquelles étaient des idées d’une réalité dans d’autres situations), ce qui se manifeste par des réécritures, du métalangage, etc.

La conversion d’une connaissance – c’est-à-dire d’un moyen de décision - en savoir, et celle

d’un savoir en moyen de décision peuvent paraître comme évidentes et mécaniques ou comme le résultat d’un simple changement de point de vue. L’une et l’autre peuvent prendre des siècles à l’humanité, et des efforts considérables à un élève. La distinction est importante en didactique : seuls les savoirs sont assez facilement traités dans les évaluations et dans les décisions didactiques actuelles. Or les connaissances sont indispensables à la mise en œuvre des savoirs. Les décisions prises sans en tenir compte conduisent à de mauvaises corrections et à des résultats décevants.

Les termes « connaissances » et « savoirs » sont presque synonymes en français et ne peuvent

être traduit que par un seul mot dans de nombreuses langues. De plus ils sont généralement associés à l’idée d’exactitude, de validité scientifique « objective ». Or la T.S. s’intéresse au fonctionnement réel de ce qui tient lieu de connaissance ou de savoir dans une situation ou dans une institution donnée, qui peut ignorer la vérité que connaît l’observateur. C’est pourquoi nous avons proposé les termes c-knowledge (c du grec cognocere, qui naît avec la connaissance) et s-knowledge (s du latin sapere apprécier la saveur - de la connaissance) pour éviter des méprises

La T.S. permet de diversifier les rapports des connaissances avec des décisions d’un actant

dans un milieu. Elle permet par là de substituer dans l’analyse de la connaissance le fonctionnement à la simple représentation : les connaissances avec lesquelles l’observateurdécrit le milieu et celles qu’il prête à l’actant en rapport avec ce milieu ne sont pas nécessairement dans un rapport d’analogie.

16. Effet Topaze

La première scène du célèbre "Topaze" de Marcel Pagnol illustre un des processus fondamentaux dans le contrôle de l'incertitude: le maître fait une dictée à un mauvais élève; ne pouvant pas accepter trop d'erreurs trop grossières et ne pouvant pas non plus donner directement l'orthographe demandée, il "suggère" la réponse en la dissimulant sous des

codages didactiques de plus en plus transparents. Le problème est complètement changé, l'enseignant mendie une marque d'adhésion et négocie à la baisse les conditions dans lesquelles l'élève finira par donner la réponse attendue, le professeur a fini par prendre à sa charge l'essentiel du travail. La réponse que doit donner l'élève est déterminée à l'avance, le maître choisit les questions auxquelles cette réponse peut être donnée. Evidemment les connaissances nécessaires pour produire ces réponses changent leur signification aussi. En prenant des questions de plus en plus faciles, il essaie de conserver la signification maximum pour le maximum d'élèves. Si les connaissances visées disparaissent complètement, c'est "l'effet Topaze".

17. Effet Jourdain

Ainsi nommé par référence à la scène du "Bourgeois Gentilhomme" où le maître de philosophie révèle à Jourdain ce que sont la prose ou les voyelles. Tout le comique de la scène est basé sur le ridicule de cette sacralisation répétée d'activités familières dans un discours savant. Le professeur, pour éviter le débat de connaissance avec l'élève et éventuellement le constat d'échec, admet de reconnaître l'indice d'une connaissance savante dans les comportements ou dans les réponses de l'élève, bien qu'elles soient en fait motivées par des causes et des significations banales. C'est une forme d’effet Topaze

18. Glissements métacognitif et metadidactique

Le glissement metacognitif est le remplacement d’une connaissance par un de ses modèles par

une description en metalangage. Le glissement metadidactique est le processus didactique qui

conduit à l’utilisation didactique effrénée du glissement métacognitif.

Lorsqu'une activité d'enseignement a échoué, le professeur peut être conduit à se justifier et,

pour continuer son action, à prendre ses propres explications et ses moyens heuristiques comme objets d'étude à la place de la véritable connaissance mathématique. D’objets d’études ils deviennent par le même processus objets d’enseignement. Cet effet peut se réitérer, se cumuler plusieurs fois, concerner toute une communauté et constituer un véritable

processus échappant au contrôle de ses acteurs. L'exemple le plus frappant est probablement

celui qui concerne l'usage des graphes dans les années 60 pour enseigner les structures, méthode à laquelle s'est attaché le nom de G. Papy. Les propriétés ou les objets mathématiques étaient définis par des prédicats, eux même représentés par des ensembles, représentés par des graphes, eux mêmes par des « patates » etc. Chaque niveau avait son langage propre et son métalangage. Une relation réflexive devenait « une relation bouclée partout ».

19. L'usage abusif de l'analogie

C’est procédé didactique qui utilise l’analogie comme argument pour faire admettre et

apprendre une connaissance par l’accumulation de circonstances « analogues ». L'analogie est un excellent moyen heuristique lorsqu'elle est utilisée sous la responsabilité de celui qui en fait usage. Mais son utilisation dans la relation didactique en fait un redoutable moyen de produire des effets "Topaze".

C'est pourtant une pratique naturelle ; si des élèves ont échoué dans leur apprentissage, il leur faut donner une nouvelle chance sur le même sujet. Ils le savent. Même si le professeur dissimule le fait que le nouveau problème ressemble à l'ancien, les élèves vont chercher – c'est légitime – la solution qu'on leur a déjà donnée. Cette réponse ne signifie pas qu'ils la trouvent idoine pour la question posée mais seulement qu'ils ont reconnu à des indices, peut-être tout à fait exogènes et non contrôlés, que le professeur voulait qu'ils la produisent. Ils obtiennent la solution par une lecture des indications didactiques et non pas un investissement du problème. Et ils y ont intérêt car après plusieurs échecs sur des problèmes semblables mais non justifiés, non reconnus, le professeur s'appuiera sur ces analogies soudain renouvelées, pour reprocher à l'élève sa résistance opiniâtre (cet effet est utilisé par R. Devos dans son sketch des deux bouts d'un bois). "Ca fait un bout de temps que je vous le dis !"

D’autres procédés rhétoriques entre autres les métaphores et les métonymies sont employés de

la même façon. La contradiction vient de ce que la règle par laquelle on veut faire admettre

une connaissance aux élèves est déniée dans la connaissance enseignée : en mathématiques

comparaison n’est pas raison.

20. Effet « Diénès »

Plus le professeur se croit assuré de la réussite par les effets d’un dispositif ou d’un matériel

didactiques et de « lois » psychologiques ou autres, indépendantes de son investissement personnel, et plus il risque d’échouer... ! Ce phénomène expliquerait pourquoi les professeurs novateurs et prosélytes réussissent leur enseignement alors que les novateurs qui font confiance à la méthode échouent. Nous appelons effet Diénès ce phénomène en référence à une étude portant sur la diffusion des mathématiques modernes dans l’enseignement obligatoire suivant une méthode proposée par Zoltan Dienès. L’existence de cet effet montre la nécessité d'intégrer les rapports maître-élève dans toute théorie didactique.

21. Paradoxe du comédien

Diderot a formulé dans une étude célèbre le paradoxe inhérent à l'activité du comédien : Plus

l'acteur éprouve les émotions qu'il veut présenter, moins il est capable de les faire éprouver au spectateur car "observateur continu des effets qu'il produit, l'acteur devient en quelque sort spectateur des spectateurs en même temps qu'il l'est de lui-même et peut ainsi perfectionner son jeu". Ce paradoxe se prolonge au cas du professeur. S'il produit lui-même ses questions et ses réponses de mathématiques, il prive l'élève de la possibilité d'agir. Il doit donc laisser du temps, laisser des questions sans réponses, utiliser celles que l'élève lui donne et les intégrer dans sa propre démarche en leur laissant une place de plus en plus grande... Ce schéma idyllique peut se dérouler tant que le professeur fabrique un savoir nouveau mais si le savoir est déterminé à l'avance, cette "liberté, n'est plus qu'un jeu d'acteur et l'élève est convié à être un autre acteur, astreint à un texte ou tout au moins à un canevas, qu'il est censé d’ignorer.

Le paradoxe sur le comédien montre un effet opposé à l’effet Diénès. Il dit que si le professeur éprouve à la première personne les rapports qu’il veut enseigner, il ne peut en faire dévolution aux élèves, mais que s’il n’investit pas de désir personnel et de responsabilité dans la réussite de ses élèves, la dévolution qu’il propose ne peut être acceptée. La relation didactique s’entretient par une équilibre dynamique entre ces deux effets.

22. Paradoxe de la dévolution des situations

Le professeur a l'obligation sociale d'enseigner tout ce qui est nécessaire à propos du savoir.

L'élève – surtout lorsqu'il est en échec – le lui demande. Ainsi donc, plus le professeur cède à

ces demandes et dévoile ce qu'il désire, plus il dit précisément à l'élève ce que celui-ci doit

faire, plus il risque de perdre ses chances d'obtenir et de constater objectivement l'apprentissage qu'il doit viser en réalité. C'est le premier paradoxe : ce n'est pas tout à fait une contradiction, mais le savoir et le projet d'enseigner vont devoir s'avancer sous un masque. Ce contrat didactique met donc le professeur devant une véritable injonction paradoxale : tout ce qu'il entreprend pour aire produire par l'élève les comportements qu'il attend, tend à priver ce dernier des conditions nécessaires à la compréhension et à l'apprentissage de la notion visée : si le maître dit ce qu'il veut, il ne peut plus l'obtenir. Mais l'élève est, lui aussi, devant une injonction paradoxale : s'il accepte que, selon le contrat, le maître lui enseigne les résultats, il ne les établit pas lui-même et donc il n'apprend pas de mathématiques, il ne se les approprie pas. Si, au contraire, il refuse toute information de la part du maître, alors, la relation didactique est rompue. Apprendre, implique, pour lui, qu'il accepte la relation didactique mais qu'il la considère comme provisoire et s'efforce de la rejeter.

Toutes ces « définitions » ont été rédigées par Guy Brousseau en correction d’un choix de citations dû à Bernard Sarrazy

Kommentarer til Grundbegreberne

5. Fundamental situation (svarende til erkendelse)

I den fundamentale situation kan elevens opgave ikke løses, uden at den tilsigtede viden benyttes. Måske det sværest forståelige afsnit i artiklen. Heldigvis skriver Guy Brousseau stort set det samme med lidt andre ord i [5]:

.. We will rather follow the other course, which, starting from a particular piece of knowledge, seeks out types of situations which will cause it to appear, cause it to be used, cause it to be constructed and cause it to be learned.

For heuristic reasons, we assume that every piece of mathematical knowledge possesses at least one situation which characterizes it and differentiates it from all others.

In addition, we conjecture that the set of situations which characterize the same notion has a structure and that it can be generated by a small number of situations which we will call fundamental, by the play of variants, of variables and of bounds on these variables.

Guy Brousseau belyser teorien med et eksempel, nemlig den fundamentale tællesituation, hvor eleven skal hente pensler et sted og placere dem med en i hver deres malerbøtte et andet sted. Hvis der bliver pensler eller malerbøtter til overs, skal eleven starte forfra. Jeg henviser til [5] for yderligere detaljer. Han kommenterer eksemplet:

..The numbers are no longer the explicit object of the question, but rather the implicit means of responding to it.

..The difference between counting as a customary cultural knowing and counting as knowledge of a means of resolving the fundamental situation is visible in the following example due to B. VILLEGAS.[JE16]

The other students in the class suggest:

-"Count, count!"

The student counts the pots, leaves, grabs a handful of brushes and returns. Counting hasn't done a thing for him.

..parents and teachers use all these degenerate forms of the fundamental situation with a certain measure of success, even the extreme case of the formal teaching of the sequence of numbers. So it is not a matter of rejecting some of them, but of using them to their best according to their particular characteristics

10. Forhindringer

Ordet er misvisende, for den gnidningsløse undervisning uden forhindringer fører kun til reproduktion. Eleverne lærer netop ved at passere forhindringerne, og udvælgelsen af de rette forhindringer er en vigtig del af undervisningsplanlægningen (engenerie didactique)

I [5] skriver Guy Brousseau således:

It’s not a matter of difficulties, but of actual knowledge, initially necessary, but enduringly perturbing to later learning, and persisting even after the acquisition of correct knowing. Deduced a priori[JE17] from the Theory of Situations, the fact has been observed in many examples.

11. Institutionnaliseringssituation for viden

I [5] skriver Guy Brousseau:

But this learning could be produced by a conjunction of methods: for example in a constructivist process, by completing the spontaneous or provoked responses and (indispensably[JE18] ) institutionalizing them.

12. Radikalkonstruktivisme

Hører ikke naturligt hjemme i en ordliste over grundbegreberne i TDSM. Men Guy Brousseau har et markant syn på radikalkonstruktivisme. I [5] skriver han:

The most spectacular consequence of the theoretical studies of the didactical contract has been to show that radical constructivism cannot lead to the acquisition by the student of knowledge aimed at, without didactical interventions.

13. Overdragelse

Andre aspekter end de didaktiske er væsentlige for overdragelsen. Måske mere et pædagogisk problem end et didaktisk?

14. Didaktisk kontrakt

I [5] skriver Guy Brousseau om den didaktiske kontrakt:

Jeanine Filloux, extending the social contract of ROUSSEAU, came up with the notion of the pedagogical contract[JE19] , in which one specifies with the students, with society and with teachers the reciprocal obligations of each with respect to the others. Can this contract be extended to the "teaching" domain of education? Can the teacher specify and pass a teaching contract in the same way? Early on, I imagined that a teacher acted on the system {student, situation, knowledge} in exactly the same way that a student acted in a non-didactical situation. In which case, the didactical contract would have been simply the rules of this situation. I came to realize that that model led to contradictions [JE20]

19. Misbrug af analogi

Guy Brousseau bruger dette afsnit til at advare om uundgåelige farer ved at give eleverne opgaver ”magen til de, de har regnet før”. Men afsnittet er også et opgør med behavioristisk undervisning, om hvilken Guy Brousseau skriver i [5]:

..the meaning of what he has learned cannot be given him until after the fact, by its use. Which explains the necessity for giving a high multiplicity of exercises applying the piece of knowledge learned. The meaning of this piece of knowledge will be represented, not by its usefulness in establishing answers, but by a universe of situations determined by their analogies. [JE21] Thus, the classical teaching of division separates the teaching of the algorithm and that of its meaning.

20. ”Diénès”-effekten

Jeg ved ikke rigtigt, hvor dybt det er. Det er velkendt, at forsøg med undervisning i gymnasiet altid lykkes. Formodentlig fordi de mennesker, der står for forsøgene brænder for sagen. Man kan godt grue lidt for den kommende gymnasiereform set i lyset af Guy Brousseaus analyse. For de lærere, der skal føre den ud i livet, har ikke alle hjertet med i projektet.

21. Skuespillerparadokset

Dette paradoks kan bruges til et forklare et velkendt fænomen, som også er blevet undersøgt empirisk ved hjælp af TDSM: Undervisningsforløb nedslides, fordi læreren simpelthen bliver for dygtig til sin rolle og derved holder eleverne fra fadet.

Kapløbet til 20

Denne klassiker inden for TDSM findes i [8] side 3-18. Jeg vil ikke give en detaljeret gennemgang, men blot antyde, hvorledes kæden af situationer følger TDSM.

Selve spillet spilles af to spillere. Den ene spiller lægger ud med at sige 1 eller 2. Derefter skiftes spillerne til at sige et tal, som de får, ved enten at lægge 1 eller 2 til det foregående tal. Den, der siger tallet 20, har vundet.

Lad os til en begyndelse bemærke, at spillereglerne er konstrueret, så et udført spil kan repræsenteres med en endelig talfølge, og at disse talfølger kan underkastes statistiske undersøgelser. Typisk fransk! Man kan studere udviklingen af en underliggende strategi[JE22] ved hjælp af disse talfølger.

Til at begynde med spilles mand mod mand[JE23] . Derefter spilles holdspil, hvor det kun er anføreren, der må sige tal på holdet vegne. Det tvinger eleverne til at formulere sig[JE24] . Til sidst leges en bevisleg [JE25] med udgangspunkt i spillet.

En osynligt kontrakt mellan elever och lärere

Det eneste, jeg har læst på dansk er Morten Blomhøjs artikel [3] (det er kun overskriften og bilaget, der er på svensk). Artiklen indeholder en ultrakort gennemgang af den didaktiske kontrakt, Topaze- og Jourdain-effekt.

Begrebsapparatet brugt til selvrefleksion – et tilløb til en analyse

Naturfag 1.a fredag 23/5 2003. Jeg har lige repeteret formlerne for cosinus, sinus og tangens til en vinkel i en retvinklet trekant. Formlen tan(A)=a/b står på tavlen. Anders er velbegavet og hører hjemme i den bedste tredjedel.

Anders: Hvordan er det nu man finder a og b? Skal man gange eller dividere?

Vi snakker om, at der findes huskeregler, men det er bedre at forstå, hvad man gør. Vi snakker om, hvad man må gøre ved ligninger (gange, dividere, lægge til og trække fra på begge sider med samme tal på begge sider – det er elevernes forslag).[JE26]

Jørgen: Må man også gange med bogstaver på begge sider, Michelle?

Michelle: (tøver)

Jørgen: Må jeg gange med bogstavet f på begge sider?

Michelle: Naaaa…

Jørgen: f er bare et tal, det kunne være 17..

Michelle: (stadig ikke sikker) Jamen, så må man godt.

Jørgen: Er du sikker.. eller siger du det bare, fordi du tror, jeg gerne vil have det?

Michelle: smiler Det er nok derfor..[JE27]

Der følger nu en god snak. Men problemet er, at der bliver uro, fordi klassen deles op

- i en lille velmotiveret gruppe, der består i nogle svage elever, som ikke kan finde ud af det (det ved de fra blækmat). De prøver at forstå, for de har ikke noget alternativ. Der er også nogle dygtige elever, som synes, det er sjovt at få en forklaring.

- Og en gruppe halvsvage elever, som ikke kan find ud af det, men bare vil have at vide, hvad de skal gøre[JE28] (mekanisk)

- Og en gruppe middelgode elever, som ikke føler behov for at følge med i det, der foregår, for de har jo allerede forstået det (læs: Mekanikken er i orden). De synes sandsynligvis, at læreren er forvirrende, når han problematiserer stoffet og forklarer det på en anden måde, end de har lært det[JE29] .

Det ender med, at vi finder a.

Jørgen: Hvordan finder vi så b?

Nina: Vi dividerer med a på begge sider!

Jeg vælger at følge Ninas forslag, fordi det jo viser, at Nina tilsyneladende har forstået[JE30] det, vi har talt om. Desværre viser det sig så, at Nina tror, at hun har fundet facit allerede, fordi hun tror, at hun får b på højresiden.

Jørgen: Er du sikker på det?

Nina: Ja, når du spørger på den måde, så…[JE31]

Jørgen: Jeg mener, hvor er brøkstregen blevet af? (pause) Hvad får man, hvis man dividerer med a på højresiden? Mette?

Mette: Det er ikke det jeg ville gøre, jeg ville

Jørgen: Jeg synes vi skal gøre, som Nina foreslog..

Mette: Så får man 1/b

Det lykkes at finde b[JE32] til sidst, og Mette får også lov til at forklare, hvad hun ville have gjort.

Som nævnt i overskriften, er der kun tale om et tilløb til analyse. Men hensigten med denne lille case er at illustrere TDSM som et sprog til at beskrive undervisningen med. Kommentarerne i margenen er ikke udtryk for efterrationalisering, men er min refleksion i situationen (så godt, som jeg husker den). Jeg har flere gange på det sidste tænkt, at opgaveskrivningen var ved at stige mig til hovedet, for nu var jeg begyndt at tænke som Guy Brousseau.

En slags konklusion TDSM studerer vekselvirkningen mellem eleven og det nære miljø i undervisningssituationen. Det lokale sociokulturelle aspekt i matematikundervisningen får derved en fremtrædende rolle, som jeg som praktiker værdsætter.

TDSM opererer med en videns-/erkendelsesdefinition baseret på observerbar elevadfærd. Man kan have filosofiske indvendinger[JE33] , men så længe teorien ikke udtaler sig om, hvad der foregår ind i hovederne på eleverne, finder jeg synspunktet konstruktivt.

Matematik er jo blandt andet en (flere) kultur(er) og et (flere) sprog med normer for hensigtsmæssig adfærd og sprogbrug. Hvis situationerne udløser hensigtsmæssig adfærd og sprogbrug, kan vi så forlange mere som undervisere?

Vi skal naturligvis være enige[JE34] om, hvad der hensigtsmæssigt. Værdien af TDSM som teoretisk model står og falder med de fundamentale situationer, som bruges til at definere viden. På plussiden hæfter jeg mig ved, at disse er designet i respekt for Piagets læringsteori. Men hvordan udvælger man egentlig de fundamentale situationer?

Værdien af TDSM som praktisk arbejdsredskab er jeg overbevist om. Flere af begreberne indføres for at beskrive observationer, som jeg selv har gjort gennem over 25 års undervisning, og som jeg selv har fundet centrale. Begrebsapparatet er derfor efter min opfattelse velegnet både til lærerens selvrefleksion og som referenceramme i forbindelse med kollegial supervision.

Litteraturliste

[1] Artigue, Michèle, Gras, Régis, Laborde, Colette, Tavignot, Patricia (Red): Vingt ans de didactique des mathématiques en France : Hommage à Guy BROUSSEAU et Gérard VERGNAUD, La Pensée sauvage, 1994.

[2] Blomhøj, Morten (1995): "Den didaktiske kontrakt i matematikundervisningen", Kognition og Pædagogik 4 (3), 16-25.

[3] Blomhøj, Morten: Ett osynligt kontrakt mellan elever och lärare

[4] Brousseau, Guy: Glossaire de quelques concepts de la théorie des situations didactiques en mathématiques

[5] Brousseau, Guy: Education and Didactique of Mathematics

[6] Brousseau, Guy: Education et Didactique des mathématiques, « Educacion matematica » Vol 12 n°1 april 2000 pp 5-39.

[7] Brousseau, Guy: La théorie des situations didactiques

[8] Brousseau, Guy: Theory of didactical situations, Kluver Academic Publishers, 1997.

[9] Brousseau, Guy og Warfield,Virginia: The case of Gaël. The study of a child with mathematical difficulties, The Journal of Mathematical Behavior, volume 18, number 1, 1999.

[10] Brousseau, Guy: The Crucial Role of the Didactical Contract.. i H.G. Steiner et al.: Theory of Mathematics Education, 1984

Kun [1], [4], [5] og [8] er inddraget direkte i opgavebesvarelsen.

Virginia Warfields hjemmeside http://www.math.washington.edu/~warfield/Intro.html