Realisme og strukturalisme

Fremkomsten af ikke-euklidisk geometri, kvaternioner osv. som alternativer til euklidisk geometri og de reelle tal er tilsyneladende uforenelig med en empirisk-realistisk (matematikken beskriver virkelige objekter) tolkning af matematikken. Der er dog en udvej, nemlig at omdefinere matematikkens objekter. Det er netop den strategi, de moderne realister med anlægger. Vi vil koncentrere os om

Penelope Maddy, hvis forhold til mængder er alt andet end platonisk (mængdeteoretisk realisme – de virkelige objekter er altså mængder).

Michael D. Resnik, som løser problemet ved at opfatte matematikken som en videnskab, der beskæftiger sig med strukturer/mønstre.

Vi minder om Benacerrafs dilemma: At de to naturlige krav at stille til et matematisk sandhedsbegreb:

er modstridende. Dette er hovedargumentet mod matematisk realisme. 

Dilemmaet har tydeligvis været en inspirationskilde for mange moderne matematikfilosoffer. Som Tait (se Sandhed og erkendelse) pointerer, er dilemmaet  ingenlunde  specielt for matematikkens filosofi, og måske er der slet intet dillemma. Tilbage står, at vi som matematikfilosoffer er nødt til at redegøre for, hvorledes fagets ontologi og epistemologi hører sammen. 

Maddy gør opmærksom på, at perception af objekter foregår i hjernen på iagttageren, og at sanseindtrykkene ikke kan stå alene, men kræver, at iagttageren er modtagelig. Altså, at iagttageren har nogle forestillinger/modeller/skemaer/mønstre, som sanseindtrykkene matcher. Sagt med andre ord: Mønstergenkendelse er central for perceptionen. Desværre tager hun ikke skridtet fuldt ud. Det naturlige skridt er efter vor opfattelse at acceptere abstrakte objekter og at omdefinere referencebegrebet. Dels, fordi vi finder den kausale teori uacceptabel. Dels - med en omskrivning af Gödels berømte ord, fordi:

But, despite their remoteness from sense experience, we do have something like a perception also of mathematical objects as is seen from the fact that the mathematical objects force themselves upon us as being real.

Gödels oprindelige argument har den indlysende svaghed, at det ikke er alle aksiomerne, der trænger sig på som indlysende sande. De supplerende mere tekniske aksiomer har mere ad hoc karakter. Vi har således mulighed for flere alternative formuleringer af mængdelæren, hvilket gør Maddys konkrete realisme problematisk. Maddy gør sig efter vor mening for meget umage med at leve op til en unuanceret teori for reference, med det resultat at hun bliver et let offer for indvendinger i stil med Paul Benacerrafs i What Numbers Could Not Be:

Ø, {Ø}, {{Ø}}, {{{Ø}}},..

Ø, {Ø}, {Ø,{Ø}}, {Ø, {Ø},{{Ø}}},..

er hver for sig glimrende mængdeteoretiske bud på, hvad de naturlige tal er. Men hvis man er realist, er man ifølge Benacerraf nødt til at vælge. Benacerrafs indvendinger kan efter vor opfattelse direkte overføres på Maddys mængdeteoretiske realisme.

Maddy påpeger et af de mange problemer ved den kausale reference – nemlig, at selv om den er baseret på en vekselvirkning mellem et snit i rumtiden af objektet, opfattes den alligevel som tilstrækkelig kontakt med objektet, hvilket i den store sammenhæng må opfattes som et yderst spinkelt grundlag. Ifølge Maddy kan den mængdeteoretiske realist med lige så god ret hævde at vi kan vekselvirke med mængder, fordi vekselvirkning med mængdernes elementer er mulig. Der er en meget mere nærliggende konklusion: Den kausale teori må forkastes til fordel for en teori med mindre direkte krav til reference. Sanser, perception, sprog og objekt indgår i et kompliceret netværk (vi har naturligvis noget i stil med Quines holisme i baghovedet). Hvis dette lyder som en sang fra de varme lande, vil vi understrege, at vort ærinde ikke er at opstille en ny teori, men kun at påvise, at den kausale teori er for primitiv. 

I grunden er vi enige med Maddy. Mængder er virkelige, men argumentationen går over et nyt referencebegreb, som tillader virkelige abstrakte begreber. Vi gør os ingen illusion om, at afgrænsningen af de reelle abstrakte begreber i forhold til abstraktioner i almindelighed bliver nogen let opgave, men vi er overbeviste om, at de naturlige tal er tilstrækkeligt forankrede til konkrete repræsentationer, der kan sanses, til at vi kan forsvare at opfatte dem som virkelige.

Resniks immanente (iboende) realisme ser vi som et direkte svar på Benacerrafs indvending ovenfor (flere mængdeteoretiske udgaver af de naturlige tal). Vi ønsker at identificere isomorfe objekter, hvilket Benacerraf har fornuftige argumenter imod. Modtrækket er strukturalisme: Matematikken beskæftiger ifølge Resnik sig med mønstre, som er klasser af isomorfe strukturer, strukturerne opfattes som former (templates), og de forhenværende objekter (tal osv.) opfattes som placeringer i mønstrene.

Ifølge Resnik har vi god grund til at tro, at strukturer/mønstre eksisterer ud fra formerne ("templates") for de sanselige objekter. Vi postulerer/antager (we posit), at beslægtede former er repræsentationer/konkrete modeller af samme struktur/mønster. Eller rettere sagt: På et eller andet tidspunkt gjorde vore forfædre det. De skabte de abstrakte begreber (posits), som er gået i arv til os takket være traditionen med beviser. Resnik ser en parallel til fysiske teorier, som har deres eksistensberettigelse og deres objekter "har deres liv" i kraft af afprøvelige forudsigelser (elektronen eksisterer, fordi..)

Benacerrafs dilemma har tydeligvis været en anden drivkraft, hvis ikke hoveddrivkraften. Epistemologien er nærmest indbygget i definitionen af mønstrene: Resniks påstand er, at beviser består af skift mellem forskellige repræsentationer af mønstrene.  Fordelen ved denne indfaldsvinkel er, at epistemologien – den måde vi opnår matematisk erkendelse på – er i overensstemmelse med den matematiske tradition: Sandheden erkendes ved bevisførelse. Lad os uddybe dette synspunkt med Resniks egne ord:

To be able to understand a proof we must be able to understand claims about mathematical objects. If we are prepared to do that then we will be prepared to learn truth about mathematical objects from proofs.

Leverer Resnik varen, dvs. angiver han en tilfredsstillende løsning på Benacerrafs dilemma? Han deler Benacerrafs Truth/proof problem op i to dele:

1) In view of the gap between us and the mathematical reality why does proving p make us to believe p?

2) Why are the reasons a proof provides good reasons?

Det første spørgsmål er det lette. Svaret er, at det er noget vi bliver opdraget til. Socialkonstruktivisterne vil kunne nikke bifaldende. Men pointen i opdelingen er, at Resnik lægger afstand til dem, for som han så morsomt skriver: We need asurance that this is not just an elaborate mythology passed from generation to generation by the priesthood of mathematics. Resnik er jo realist:

Resnik skriver: Circles, numbers, neutrinos, and quarks existed and obeyed their laws long before we posited them. Det er muligt, men her står vi af. Vi mener snarere, at Resniks argumentation peger i retning af: Matematiske objekter eksisterer i kraft af en etableret sprogbrug. At forstå beviser, er at beherske dette sprog.