Sandhed og erkendelse

Omdrejningspunktet i en stor del af den moderne matematikfilosofi har været Benecerrafs dilemma:

1) Et matematisk udsagn udtaler sig om nogle egenskaber ved en matematisk struktur, og det er sandt, hvis strukturen har de ønskede egenskaber.

2) På den anden side lærer vi matematik ved at lære, hvordan man gør, og den ultimative måde at overbevise sig selv og andre om sandheden af et matematisk udsagn er ved at bevise det.

Hvad har de to ting med hinanden at gøre? Dette er et interessant spørgsmål, som fortjener nærmere studier. Men Benacerrafs dilemma bruges tit som det ultimative argument mod matematisk realisme. Første skridt er at konstatere, at 1) er den rene ammestuesnak, fordi vi ikke har nogen mulighed for at komme i kontakt med de matematiske objekter, som må befinde sig uden for rumtiden. Andet skridt er at konstatere, at et bevis for et matematisk udsagn umuligt kan handle om den matematiske struktur, da vi ikke kan vide, om reglerne for bevisførelse gælder for strukturen (det er stadig den manglende mulighed for kausal vekselvirkning, der er problemet). Men hvis vi ikke kan opnå matematisk viden  om strukturen ved hjælp af beviser, så kan vi slet ikke erhverve matematisk viden.

Benaceraff er (vist nok ufrivilligt) blevet gjort til eksponent for en matematikfilosofisk bølge, som med udgangspunkt i et dogme om sandhed via reference skaber nogle uoverstigelige filosofiske forhindringer for sig selv. Blandt andet maler den sig op i et hjørne, hvor den er nødt til at forsvare det absurde synspunkt, at matematikere ikke beskæftiger sig med matematik – i hvert fald ikke på den måde, de selv tror!    

I artiklen Truth and proof [1] imødegår W.W. Tait på overbevisende måde den skitserede argumentation.  Tait sammenligner de to udsagn:  

(*)   Der findes et primtal større end 10

(**)   Der findes en stol i værelset

og gør op med synspunktet: whereas the naïve (platonistic) construal of (*) is problematic, the naïve reading of (**) is acceptable, indeed as a paradigm case.

I begge tilfælde benytter vi de verifikationsregler, vi er blevet opdraget til/trænet i. Hvis man har læst sin Wittggenstein, ved man at sprogtræningen ikke er et spørgsmål om at sætte de rigtige etiketter på objekterne. Men at man lærer et ord ved at lære at benytte og reagere på sætninger, hvori ordet indgår. Med Wittgensteins egne ord:

What is supposed to show what the words signify, if not the kind of use they have?

Og med Taits ord:

We do not read the grammatical structure of propositions about sensible objects in the sensible world…Rather, we master language, and in language, we apprehend the structure of the sensible world and facts. To apprehend the fact that A is simply to apprehend that A.

Det er værd at bemærke, at (**) ikke handler om vore sanseindtryk. Men om den fysiske verden. Der er lige så lidt/stor grund til at antage, at vore sanseindtryk kan bruges som verifikation af udsagn om den fysiske verden, som der er til at tro, at bevisførelse kan bruges som verifikation af matematiske udsagn!

Tait følger sagen til dørs: Skepsis over for matematiske objekter og fysiske objekter følges ad og er lige malplacerede. Han bemærker til sidst, at skepsis over for sandhed logisk fører til skepsis over for mening. Så skulle den ged vist være barberet!

En anden vej uden om Benacerrafs dilemma er W.V. Quines holisme.  I Two Dogmas of Empiricism, [2] gør Quine op med Kants skelnen mellem syntetisk og analytisk sandhed.

Quine starter med at indkredse, hvad analytiske sandhed egentlig er. Udgangspunktet er sandhed i kraft af ordenes betydning. Sandheden er i hvert fald uafhængig af empiriske undersøgelser. Men så står vi med spørgsmålet: Hvad er betydning?

Betydning er ikke det samme som navn. Morgenstjernen = Aftenstjernen (Freges eksempel) kunne ligne en analytisk sandhed. Begge er navne for planeten Venus, men som det fremgår, er empirien kraftigt med i billedet. Et andet eksempel: ’9’ og ’antallet af planeter’.

Det ender med, at vi går i ring: Analytisk sandhed og betydning er to sider af samme sag.

Vi prøver igen: En række udsagn er sande i kraft af deres form. F.eks.

Ingen ugift mand er gift.

Men hvad med udsagnet:

Ingen ungkarl er gift.

Man kunne fristes til at sige, at det var en definitionssag. Men han er en snu rad, ham Quine. For hans næste spørgsmål er: Hvad betyder definition? Og nu er vi ude i noget Wittgenstein-agtigt: Det er til syvende og sidst et spørgsmål om sprogbrug.  Aner vi empirien i baggrunden? Nok, til at Quine tager det endelige opgør med analyticiteten:  ..a boundary between analytic and synthetic statements simply has not been drawn. That there is such a destinction to be drawn at all is an unempirical dogma of empiricists, at metaphysical article of faith.

Der røg det første dogme. Lad os se på det andet: reduktionismen. Som udgangspunkt antager vi, at betydningen af et udsagn ligger i metoden til at af- eller bekræfte dette. Med dette fikse lille træk bliver de analytiske udsagn grænsetilfældet, hvor der er garanti for bekræftelse. Quine stiller nu spørgsmålet: Hvad er sammenhængen mellem et udsagn og den erfaringsbaserede af- eller bekræftelse?

Quines anlayse munder ud i konklusionen, at bruddet med dogme 1 indebærer, at man ikke kan forvente det enkelte udsagn af- eller bekræftet, men at udsagnene om den ydre verden hænger sammen som ærtehalm. Der røg dogme 2. (Quine argumenterer for, at det i virkeligheden er det samme dogme).  

[1] Tait, W.W.: Truth and Proof: The Platonism of Mathematics p 142-167 i The Philosophy of Mathematics, red.Hart, W.D (1996), Oxford University Press. Tilbage.                                                            

[2]  Quine, W.V.: Two Dogmas of Empiricism, p 31-51i The Philosophy of Mathematics, red.Hart, W.D (1996), Oxford University Press. Tilbage.