Talepapir 23/10 2003

Forslag til inddragelse af filosofiske emner/vinkler på matematikundervisningen

Tak til Elsebeth for invitationen.

Min baggrund

Jeg vil starte med at fortælle lidt om min baggrund. Jeg blev gymnasielærer ved et tilfælde for 20 år siden (kom hjem fra et år i USA) lørdag morgen, og der lå et brev fra Efterslægten om, at jeg kunne starte på skolen mandag morgen. Det var lidt en streg i regningen – jeg havde håbet på at kunne fise den af med jobs som undervisningsassistent og supplerende dagpenge. Efter et år blev jeg fyret pga. timemangel, men blev genanbragt på Marie Kruses Skole i Farum, hvor jeg har været lige siden. For jeg opdagede jo, at det var spændende at have med de unge mennesker at gøre.

De seneste års udvikling i gymnasiet har fået mig til at føle mig som en runkedor, som ikke længere hørte hjemme i flokken. Men i stedet for at gå afsides for at lægge mig til at dø, besluttede jeg mig for at studere til Cand. Pæd. med særlig henblik på matematikkens didaktik på DPU.

Det var kurset Matematikkens filosofi, der trak. For at følge det, skulle man tilmeldes Cand. Pæd. studiet. Og ganske langsomt, men sikkert er jeg blevet suget ind i en fremmed og fascinerende verden. Fra matematikkens filosofi ind i matematikkens didaktik og derfra videre til curriculum teori, som er didaktik på tværs af fag.

Studierne har bevæget sig fra at være noget, jeg foretog mig udelukkende for min egen fornøjelses skyld uden mindste hensyntagen til relevansen for den daglige undervisning, til didaktiske studier. Så kan vist ikke foretage sig noget på et universitet, der er mere relevant for undervisningen i skolen.

Min pointe er, at denne udvikling ikke er tilfældig og personlig, snarere logisk og uundgåelig. 

Svaret på matematikfilosofiens grundspørgsmål  

-         Hvad er matematik?

 og de didaktiske spørgsmål

     -         Hvad skal eleverne lære?

-         Hvordan skal de lære det?

-         Hvorfor skal de lære det?

 hænger uløseligt sammen, selv om der ikke er nogen enkel og entydig sammenhæng.

Hvis ens grundholdning er, at matematik er sande sætninger om virkelige objekter, er det vigtigt, at eleverne lærer disse objekter, sætningerne og deres beviser at kende.  

Hvis man opfatter matematik som et sociokulturelt produkt med menneskeskabte objekter og sætninger, som hele tiden skal justeres, er det vigtigt at eleverne får indblik i processen.

Hvis nogen i forsamlingen skulle blive grebet af kursets emnekreds, kan I jo spørge Jeppe Scott fra DPU, der kommer på fredag om studiets indhold og optagelsesbetingelserne.

Årsagen til, at jeg står her i dag, er, at jeg har lavet en hjemmeside under overskriften matematikfilosofi for begyndere. Som det fremgår af hjemmesiden er min målgruppe først og fremmest gymnasielærere. Den del af hjemmesiden, der handler om muligheden for at inddrage (matematik)filosofiske emner direkte i undervisningen er føjet til efter ønske fra min vejleder på Gymnasie-IT.

Så da Elsebeth kontaktede mig blev jeg både glad, fordi det er et spændende emne og betænkelig, fordi mine forslag på hjemmesiden bærer præg af at være skrivebordsarbejde. Jeg havde ingen praktiske erfaringer. Jeg har forsøgt at råde bod på det i mellemtiden.

Inddragelse af matematikfilosofi i undervisningen

Tre måder matematikkens filosofi kan inddrages i matematikundervisningen

-         som indhold

-         som vinkling

-         som del af lærerens didaktiske refleksion

Jeg mener stadig, at den sidste pind er langt den vigtigste, fordi ens matematikfilosofiske ståsted uvægerligt har konsekvenser for udvælgelsen af undervisningens indhold, vægtningen af de forskellige emner og vinklingen af stoffet. Det kan være, at man ikke er bevidst om det. Og man kan spørge sig selv, om man behøver at være det. Mit svar er selvfølgelig, at bevidstgørelsen er vigtig. I tider, hvor traditionelle faggrænser nedbrydes, kan vi ikke længere forlade os på vores egen fornemmelse af, hvad der er rigtigt. Vi er nødt til at kunne begrunde vore valg – også over for andre.

Introduktionsforløb i 1.x

Motivation

Hvorfor skal gymnasieelever se og udføre beviser? (Dette er et spørgsmål til forsamlingen, se om nogen vil ud af busken). Et synspunkt er, at matematik er beviser, men som bekendt er matematik ikke nogen monokultur, så der er forskel på, hvor stor vægt, den enkelte lærer lægger på beviser. Det er et godt eksempel på, at matematikfilosofisk ståsted og didaktisk praksis hænger sammen. Hvis vi ser bort fra de mest ekstreme positioner, er der enighed om, at bevisførelsen er en vigtig del af den matematiske kultur, som eleverne skal indvies i.

Lad os prøve at se det fra elevernes synspunkt. De ved måske, at beviser er vigtige, for det har de fået at vide af deres lærere. Men hvad er det egentlig vi udsætter dem for? Vi beviser sætninger, som er svaret på spørgsmål, som eleverne ikke stiller sig selv. Vi beviser ting, som de fleste ville acceptere uden bevis. Tag for eksempel de centrale sætninger om monotoniforhold. Hvis man opfatter differentialkvotienten som en hældning for grafen, er det svært at forstå, at der er noget at vise. Og pointen, at en implikation som er triviel den ene vej, kan vendes vha. middelværdi­sætningen går hen over hovedet på de fleste, der jo opfatter implikationstegnet som noget i retning af enter på PC’en. Hvorfor man overhovedet skal undersøge monotoniforhold vha. differentialkvotient, når man kan se det hele på sin grafregner, kan også være svært at forstå.

Vi gør os selvfølgelig alle sammen den ulejlighed at forklare eleverne, hvorfor de skal lære bevisførelse (ting, vi anser for indlysende, kan være forkerte). Men jeg tror alligevel, at vores praksis meget let kan få et absurd præg set med elevøjne, når vi laver uforståelige beviser for noget, de opfatter som indlysende.

Jeg plejer at bevise, ater irrationel og fortælle om -katastrofen i begyndelsen af 1.g. Jeg synes, det er sådan en god historie. Men der går som regel lidt ”Onkel Jørgen fortæller ” i den. I et forsøg på at få eleverne til at føle en større grad af ejerskab startede vi derfor 1.g med et gruppearbejde.

Hvad er matematik? Og hvor kommer den fra?

Vi afsatte 3 dobbelttimer til arbejdet med adgang til IT-lokalet med forventning om, at eleverne brugte den tid, de ellers skulle bruge til at læses lektier i matematik, på projektet derhjemme. Grupperapporterne talte for en blækmatematik.

Imellem de dobbelttimer, der var afsat til gruppearbejdet, var der almindelig undervisning med klasserumsdiskussion og opgaveregning. Her fortalte jeg om irrationaliteten af er og -katastrofen. Vi fik også med baggrund i screeningsopgaverne, som vi altid indleder 1.g med, talt om, hvad et bevis egentlig er. Kan man bevise noget ved eksempler? I så fald er det ikke svært at vise, at 4.173 er det største tal i verden. På den anden side opfattede ægypterne og babylonerne deres eksempler som eksemplariske.. For at det ikke skal være løgn inddrog vi Kompetencerapportens beskrivelse af hvad matematik er.

Det er ikke så vildt, som det lyder, for én af pointerne i rapporten er jo netop, at den samme overskrift dækker over vidt forskelligt indhold og kultur forskellige steder i uddannelsessystemet, og det er en af hovedårsagerne til elevernes overgangsproblemer.

Vi kom vidt omkring. For at det hele ikke skulle drukne i metamatematik, kørte vi samtidig et forløb, hvor eleverne ved hjælp af opgaveregning stort set beviste løsningsformlen for 2. gradsligningen og toppunktsformlen for parablen. (Her ser jeg en tydelig paral til ægypterne/babylonerne). Bagefter gennemførte vi beviserne à la grecque.

(Der er i øvrigt en pudsig bivirkning, når man gør det på den måde, hvor man lægger vægt på processen i overensstemmelse med konstruktivistisk læringsteori – flere elever hænger fast i processen frem for at bruge resultatet. Det får mig til at tænke på, hvor naturen af matematik som sprog. Toppunktsformlen er ikke blot en formel, man sætter ind i. Set fra processynspunktet er den sprængfyldt med indhold. At læse matematiske formler svarer til at læse lyrik i almindelig skriftsprog, begge udtryksformer er stærkt komprimerede).  

Hvad fik eleverne ud af det?

Det er svært at sige, blandt andet fordi jeg tror, at 1.x ville reagere fornuftigt på hvad som helst. På den anden side mener jeg, at vi skal indvie eleverne i en kultur og symbolverden, der er så anderledes fra det, de kender, at vi er nødt til at tale om, hvad kulturen går ud på, samtidig med, at eleverne oplever den i praksis.

De fleste af grupperapporterne har mere fokus på facts om pyramider osv., end jeg kunne tænke mig. På den anden side er det jo kun begyndelsen af 1.g, og jeg synes, at eleverne har arbejdet seriøst. Og jeg blev helt rørt forleden, da jeg spurgte en af pigerne: Synes du selv, du har bevist det? Og hun tænkte sig om og svarede Neej, jeg har vist et par eksempler…og vi har jo snakket om, at man ikke kan vise noget vha. eksempler.  

Eksperimentelt forløb i ikke-euklidisk geometri

Kladde til arbejdsspørgsmål til eleverne (der skal nok styres meget mere):

Euklids aksiomsystem findes i appletten.. Har du nogen kommentarer, altså er aksiomerne naturlige, urimelige eller?  

I det følgende vil vi kalde hvad som helst, der opfylder Euklids spilleregler for en geometri. Hilbert skrev en gang, at man for hans skyld lige så godt kunne se på ølkrus, borde og stole som punkter, rette linjer og planer, hvis bare de opfyldte de samme spilleregler.

Start Java-appletten Non Euclid.htm

Brug appletten til at tegne rette linjer gennem to punkter. Hvad er de rette linjer i denne geometri?

Brug appletten til at tegne linjestykker af længden 1 forskellige steder på cirkelskiven. Kan du sige noget om afstanden sammenlignet med almindelig afstand.

Brug appletten til at tegne trekanter og bestemme vinkelsummen i trekanterne. Hvad kan man sige om vinkelsummen i en trekant i denne geometri?  

Hvilke af Euklids aksiomer opfylder denne geometri?

Vagn Lundsgaard Hansens artikel i matematiske essays kan anbefales som supplerende læsning.  

Tredjeårs opgaveformuleringer

Refleksion og diskussion

Afsluttende bemærkning

Matematikfilosofi er et spændende forskningsfelt, som det dog kræver en vis stædighed at komme i gang, fordi problemerne kan forekomme fremmedartede og fortænkte.

Hvad er matematik? kan forekomme som et luksusproblem, men det hænger sammen med spørgsmål som: Hvad skal eleverne lære? og Hvad vil det overhovedet sige at lære?

Mængdeteoretisk realisme, strukturalisme og socialkonstruktivisme giver alle interessante vinkler på matematikken, men det store spørgsmål: What is mathematics, really? er stadig ikke tilfredsstillende besvaret.